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monotonie

Posté par
tetras 18-09-24 à 10:07

Bonjour
pourriez vous m'aider pour la question 3 svp?
Soit (un) une suite définie sur N par u0=1 et un+1= (2un)/(2+3un)
1)Calculer u1 et u2: la suite (un) est-elle arithmetique? geometrique?
non la suite u n'est ni arithmétique ni geométrique
u1=2/5
u2=1/4
2)On suppose que pour tout entier n, on a un different de 0, et on definit la suite (vn) par vn=1/un
a)Montrer que la suite (vn) est arithmetique et préciser sa raison
J'ai trouvé Vn=1+\frac{3}{2}n
b)Donner l'expression de Un en fonction de n, et en déduire l'expression de un en fonction de n

Un= \frac{1}{1+(3n)/2}

J'ai peux écrire ça?

3)Etudier la monotonie de la suite (un)

comment faire ici?
Merci
4)Montrer que pour tout n appartenant a N on a 0<un< =1
ça ça ira avec la récurrence

Posté par
tetrasre : monotonie 18-09-24 à 10:12

je peux dire que (vn) est croissante, mais u?

Posté par
tetrasre : monotonie 18-09-24 à 10:12

vn

Posté par
tetrasre : monotonie 18-09-24 à 10:13

vn

Posté par
heklare : monotonie 18-09-24 à 10:52

Bonjour

1) oui pour u_1 et u_2 ainsi que la conclusion

2 a) v_{n+1}= v_n +\dfrac{3}{2} donc v_n= 1+\dfrac{3}{2}n
d'accord
b) simplifiez \dfrac{a}{\left(\dfrac{b}{c}\right)}=\dfrac{ac}{b}

3 signe de u_{n+1}-u_n

Posté par
tetrasre : monotonie 19-09-24 à 12:43

merci ok pour  u_{n+1}-u_n

avec un=\frac{2}{2+3n}  ?

Posté par
heklare : monotonie 19-09-24 à 13:00

Bien sûr, u_n=\dfrac{2}{2+3u_n}


On sait aussi que si f est une fonction croissante sur un intervalle I alors sa fonction inverse est  décroissante sur I

Posté par
tetrasre : monotonie 19-09-24 à 13:11

si je calcule un+1-un (première méthode proposée)
je me retrouverai au dénominateur avec (2+3un)(2+3n)
compliqué non?

Posté par
heklare : monotonie 19-09-24 à 13:34

Absolument pas

C'est le signe qui vous importe, n est un entier naturel par conséquent positif.

Posté par
heklare : monotonie 19-09-24 à 13:38

Correction on a v_n =1+\dfrac{3}{2}  n

donc \color{red}{ u_n = \dfrac{2}{2+3n}}

le dénominateur sera (2+3n)(5+3n)

Posté par
tetrasre : monotonie 21-09-24 à 13:58

merci beaucoup hekla j'y suis arrivé.
j'ai trouvé un+1-un=

\frac{-6}{(3n+5)(2+3n)}

si on veut montrer la même chose en utilisant le fait que

Citation :
si f est une fonction croissante sur un intervalle I alors sa fonction inverse est  décroissante sur I


je prends f(x)=2+3x croissante
on utilise la récurrence?
car u et f, ce n'est pas la même chose!?

Posté par
heklare : monotonie 21-09-24 à 14:15

D'accord

u_{n+1}-u_n=\dfrac{-6}{(3n+5)(3n+2)}

Aucun problème pour trouver le signe du numérateur et du dénominateur

On peut alors conclure sur le sens de variation.

Il me semblait que vous aviez montré que (v_n) était une suite croissante, par conséquent son inverse est  \cdots

On justifie en citant le théorème.

Posté par
tetrasre : monotonie 21-09-24 à 14:26

oui j'ai défini le signe de cette fraction toujours négative sur n merci

oui tout à fait v est arithmétique de raison 3/2

l'inverse d'une suite croissante est une suite décroissante?
je n'ai pas vu ce théorème. merci

Posté par
heklare : monotonie 21-09-24 à 14:41

Au moins indirectement, lorsque vous avez étudié x\mapsto \dfrac{1}{x}

dans ce cas, utilisez le signe de la différence

pour tout n, u_{n+1}-u_n <0 donc la suite (u_n) est décroissante

Posté par
tetrasre : monotonie 21-09-24 à 18:26

Merci

Posté par
heklare : monotonie 21-09-24 à 18:27

De rien


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