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Montrer que 169 Divise 3^(3n + 3) - 26n - 27

Posté par
AenarionJD 11-12-07 à 22:33

Bonjour à tous

Le sujet est dans le titre. En remarquant que 169 = 13², j'ai cherché à factoriser 13² dans l'expression.

3^(3n + 3) - 26n - 27
= 27 ^(n+1) - 26n - 27
= 27 ( 27 ^n - 1 ) - 26 n
= 27 * 26 * ( ( (-1)^(n-1-k)*27^k ) - n )
= 26 * ((-1)^(n-k)*27k - 1)

Dsl je ne sais pas mettre les indices dans la somme, mais pour la première c'est de 0 à n-1, pour la deuxième c'est de 1 à n. Ensuite je voulais réutiliser la même identité remarquable pour remettre à nouveau 26 en facteur, mais je suis coincé par le facteur -1^n-k.


Une autre méthode serait peut être d'étudier ensuite les congruences de ma somme modulo 13, ça fait quand même 13 cas, ça me plait pas...

Donc à partir de là je sèche,  alors si qqn a une idée, je suis preneur !!

Posté par
Nightmarere : Montrer que 169 Divise 3^(3n + 3) - 26n - 27 11-12-07 à 22:50

Bonsoir

Une récurrence ferait l'affaire non?

Au rang 0 c'est vérifié.

Supposons qu'à un certain rang n il existe k tel que 3$\rm 3^{3n+3}-26n-27=169k

On a :
3$\rm 3^{3(n+1)+3}-26(n+1)-27=27\times 3^{3n+3}-26n-27-26=27\times 3^{3n+3}+169k-3^{3n+3}-26=26\times (3^{3n+3}-1)-169k

Or, 3$\rm 3^{3n+3}-1=27^{n+1}-1 qui est divisible par 26 donc par 13
On en déduit qu'il existe k' tel que 33n+3-1=13k'
alors :
3$\rm 26\times (3^{3n+3}-1)-169k=26\times 13k'-169k=169\times 2k'-169k divise par 169

Posté par
freniclere : Montrer que 169 Divise 3^(3n + 3) - 26n - 27 11-12-07 à 23:02

Salut

33n+3 = 27n+1 = (13.2 + 1)n+1

La formule du binôme donne :

27n+1 (n + 1).26 + 1 mod 169

Donc

27n+1 - 26n - 27 0 mod 169

Cordialement
Frenicle

Posté par
AenarionJDre : Montrer que 169 Divise 3^(3n + 3) - 26n - 27 11-12-07 à 23:24

Bonsoir

Je ne doute pas que la formule du binome donne ce que tu annonces, mais pourrais tu détailler un petit peu stp? je ne comprends pas... Le +1 je vois d'ou il sort (c'est le terme "k = 0"), et les termes à puissance paire sont congrus à 0 modulo 169. par contre le (n+1)*26 euh...

Sinon le reste me convient!

Merci

Posté par
AenarionJDre : Montrer que 169 Divise 3^(3n + 3) - 26n - 27 11-12-07 à 23:28

NB : ou alors chacun des terme du binome est congru à 26 modulo 169, mais alors là je vois pas trop d'où ça sort (les termes impairs ok, mais les termes pairs pour moi c'est pas le cas...

Posté par
AenarionJDre : Montrer que 169 Divise 3^(3n + 3) - 26n - 27 11-12-07 à 23:32

Nightmare excuse moi : oui ta réccurence convient parfaitement aussi, merci

Posté par
freniclere : Montrer que 169 Divise 3^(3n + 3) - 26n - 27 12-12-07 à 07:09

(13.2 + 1)^{n+1} =C_{n+1}^0(13.2)^{n+1} + C_{n+1}^1(13.2)^n + ... + C_{n+1}^{n-1}(13.2)^2 + C_{n+1}^n(13.2)^1 + C_{n+1}^{n+1}1

Tous les termes sauf les deux derniers, (n + 1).2.13 et 1, sont divisibles par 132 = 169.

Posté par
AenarionJDre : Montrer que 169 Divise 3^(3n + 3) - 26n - 27 12-12-07 à 15:37

voui c'est parfait ça  ! merci


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