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Montrer que 6 points forment un hexagone régulier

Posté par
Roxyneee
19-02-24 à 14:36

Bonjour,
Je travaille sur un DM de mathématiques et je bloque sur la question suivante :

Montrer que ces six points forment un hexagone régulier.
Avec les points A(2;3;4), B(2;4;3), C(3;2;4), D(3;4;2), E(;4;3;2) et F(4;2;3)

J'ai montré qu'ils étaient coplanaires avec les vecteurs coplanaires pour :
AB= -1/2AC + 1/2AD et AB= AE - AF  

On n'a encore vu aucune méthode pour montrer qu'ils forment un hexagone et que celui-ci est régulier alors je suis un peu perdue.
Merci d'avance !

Posté par
lake
re : Montrer que 6 points forment un hexagone régulier 19-02-24 à 15:10

Bonjour,

On peut commencer par montrer que les segments [AE],[BF] et [CD] ont même milieu.

Posté par
lake
re : Montrer que 6 points forment un hexagone régulier 19-02-24 à 17:15

J'ajoute sur pour la "coplanairité" des 6 points tes relations vectorielles sont équivalentes à :

  \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{FE}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{DC}

égalités presque immédiates à prouver.
Il est temps de faire un petit dessin dans le plan en question avec les points A,B,C,E,F,D dans cet ordre et le milieu commun  O dont on a parlé plus haut.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Montrer que 6 points forment un hexagone régulier 19-02-24 à 17:42

Bonjour,

ça ne suffit pas pour prouver que les points sont dans un même plan
C, D pourraient être dans une droite strictement parallèle au plan (ABFE)
mais il suffit d'une autre relation du même genre pour lever le doute

Posté par
Panurge
re : Montrer que 6 points forment un hexagone régulier 19-02-24 à 19:14

Bonjour,
Si tu as vu le produit scalaire et le barycentre  :
1) calculer les coordonnées de son centre  G:  centre de gravité ou isobarycentre des 6 sommets
2) calculer  le composantes de chacun des 6 vecteurs ayant pour extrémité  l'un des 6 sommets et G.

Effectuer le produit scalaire de 2  vecteurs contigus et vérifier que leur angle est bien \frac{\pi}{6}

Posté par
Panurge
re : Montrer que 6 points forment un hexagone régulier 19-02-24 à 19:23

Au temps pour moi : \frac{2\pi}{6}

Posté par
verdurin
re : Montrer que 6 points forment un hexagone régulier 19-02-24 à 19:29

Bonsoir,
en m'excusant au près de lake et de mathafou il me semble qu'une méthode simple pour montrer que les points sont coplanaires est de chercher une relation de la forme ax+by+cz=d vérifiée par tous les points.
Ici elle me semble presque évidente.

Pour la suite on peut voir que les points donnés sont les milieux de six arêtes d'un cube.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Montrer que 6 points forment un hexagone régulier 19-02-24 à 19:43

il n'est pas si évident que ça de voir de quel cube il s'agit

@Panurge
ça ne suffit absolument pas du tout.
ça ne prouve ni la coplanarité, ni la régulatité de l'hexagone

même dans le plan ce serait faux :

Montrer que 6 points forment un hexagone régulier

Posté par
Panurge
re : Montrer que 6 points forment un hexagone régulier 19-02-24 à 20:46

@Matjafou
Même si le calcul montre que ces 6 vecteurs radiaux ont en  plus la même norme ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Montrer que 6 points forment un hexagone régulier 19-02-24 à 21:46

là, d'accord,
à condition de le faire pour toutes les 6 paires de vecteurs contigus et pas seulement deux.

en tout cas suffit en tout :
- de prouver deux triplets du genre lake à 19-02-24 à 17:15 :

\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{FE}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{DC}

(et un autre)

- et qu'ils ont même norme (deux calculs de normes en tout)

reste à le justifier proprement.
que ça suffit à prouver
- la coplanarité
- que tous les côtés ont même longueur
- et que les trois diagonales aussi ont même longueur
- et donc 6 triangles équilatéraux avec le milieu commun des diagonales

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Montrer que 6 points forment un hexagone régulier 20-02-24 à 08:43

Bonjour,
Malgré l'absence de réaction de Roxyneee, je propose une synthèse de ce qui précède.

verdurin signale que les coordonnées des 6 points vérifient une relation très simple.
Les 6 points sont donc coplanaires.
Les 6 triangles équilatéraux évoqués par mathafou sont faciles à démontrer analytiquement.
Il me semble que ça suffit pour conclure.

lake et Panurge introduisent le même point G de coordonnées (3 ; 3 ; 3).
Écrire les coordonnées des six points dans le repère (G, \vec{i},\vec{j},\vec{k}) rend ce qui précède presque évident, et permet de "voir" le cube évoqué par verdurin.
Sinon, utiliser les neuf plans d'équation x, y ou z = 2, 3 ou 4 dont six sont des plans du cube.

Posté par
lake
re : Montrer que 6 points forment un hexagone régulier 20-02-24 à 14:50

Bonjour,
Une figure pour le fun qui ne rattrape pas mes bévues.
Le plan de verdurin est le plan P\alpha Q' :
Montrer que 6 points forment un hexagone régulier

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Montrer que 6 points forment un hexagone régulier 20-02-24 à 17:55

Puisqu'on est dans les figures :
Montrer que 6 points forment un hexagone régulier

Posté par
lake
re : Montrer que 6 points forment un hexagone régulier 20-02-24 à 18:57

Bonsoir,
J'avais fait allusion à mes bévues (au pluriel). L'une d'entre elles était l'ordre des points de l'hexagone.
Si j'en crois ma figure,  il s'agit de l'hexagone ABDEFC ou ACFEDB suivant le sens choisi.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Montrer que 6 points forment un hexagone régulier 20-02-24 à 19:20

Bon, je vais changer les noms des points sur ma figure

Posté par
mathafou Moderateur
re : Montrer que 6 points forment un hexagone régulier 20-02-24 à 19:54

@ lake
je pense que les rabattements en géométrie descriptive ne sont plus au programme depuis belle lurette

en tout cas je n'avais pas vérifié l'ordre des points :
à faire plusieurs choses à la fois (en ouvrant plusieurs fenêtres Geogebra en même temps) il a fini par se planter et j'ai perdu la figure que j'avais faite pour cet exo...
mais il me semble bien me souvenir que l'ordre des points n'était pas l'ordre "naturel" ABCDEF.
si je place l'origine en (2,2,2) comme Sylvieg géogebra 3D me montre bien l'hexagone ABDEFC

Montrer que 6 points forment un hexagone régulier


Posté par
lake
re : Montrer que 6 points forment un hexagone régulier 20-02-24 à 20:14

Bonsoir mathafou,

Citation :
je pense que les rabattements en géométrie descriptive ne sont plus au programme depuis belle lurette

Et tu penses bien !
J'ai balancé  une épure qui n'a aucune valeur de preuve d'autant plus que les lignes de construction prouvant que que les 6 points appartiennent au plan  P\alpha Q' n'y figurent pas.
J'espère simplement qu'un néophyte puisse y voir quelques bricoles.
On "voit" et on constate ...
Juste pour le "fun" ai-je dit

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Montrer que 6 points forment un hexagone régulier 20-02-24 à 20:43

Bonsoir,
Je poste quand même ma figure rendue peu utile après celle de mathafou.
Montrer que 6 points forment un hexagone régulier

Posté par
mathafou Moderateur
re : Montrer que 6 points forment un hexagone régulier 20-02-24 à 22:09

elle a l'utilité de faire apparaitre le plan de coupe contenant cet hexagone, et d'être plus "propre" que les figures 3D de Geogebra qui sont, il faut bien le dire, assez affreuses d'un point de vue esthétique.
(pour ceux qui ont été nourris aux figures particulièrement propres des Lebossé Hémery depuis la 6ème)
mais qui ont l'avantage de se faire en quelques minutes.
taper les coordonnées des 6 points (diminuées de 2), les relier, ajouter le cube en deux clics.



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