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Montrer que 6 points forment un hexagone régulier
Bonjour,
Je travaille sur un DM de mathématiques et je bloque sur la question suivante :
Montrer que ces six points forment un hexagone régulier.
Avec les points A(2;3;4), B(2;4;3), C(3;2;4), D(3;4;2), E(;4;3;2) et F(4;2;3)
J'ai montré qu'ils étaient coplanaires avec les vecteurs coplanaires pour :
AB= -1/2AC + 1/2AD et AB= AE - AF
On n'a encore vu aucune méthode pour montrer qu'ils forment un hexagone et que celui-ci est régulier alors je suis un peu perdue.
Merci d'avance !
J'ajoute sur pour la "coplanairité" des 6 points tes relations vectorielles sont équivalentes à :
égalités presque immédiates à prouver.
Il est temps de faire un petit dessin dans le plan en question avec les points dans cet ordre et le milieu commun
dont on a parlé plus haut.
Bonjour,
ça ne suffit pas pour prouver que les points sont dans un même plan
C, D pourraient être dans une droite strictement parallèle au plan (ABFE)
mais il suffit d'une autre relation du même genre pour lever le doute
Bonjour,
Si tu as vu le produit scalaire et le barycentre :
1) calculer les coordonnées de son centre G: centre de gravité ou isobarycentre des 6 sommets
2) calculer le composantes de chacun des 6 vecteurs ayant pour extrémité l'un des 6 sommets et G.
Effectuer le produit scalaire de 2 vecteurs contigus et vérifier que leur angle est bien
Bonsoir,
en m'excusant au près de lake et de mathafou il me semble qu'une méthode simple pour montrer que les points sont coplanaires est de chercher une relation de la forme vérifiée par tous les points.
Ici elle me semble presque évidente.
Pour la suite on peut voir que les points donnés sont les milieux de six arêtes d'un cube.
il n'est pas si évident que ça de voir de quel cube il s'agit 
@Panurge
ça ne suffit absolument pas du tout.
ça ne prouve ni la coplanarité, ni la régulatité de l'hexagone
même dans le plan ce serait faux :
là, d'accord,
à condition de le faire pour toutes les 6 paires de vecteurs contigus et pas seulement deux.
en tout cas suffit en tout :
- de prouver deux triplets du genre lake à 19-02-24 à 17:15 :
(et un autre)
- et qu'ils ont même norme (deux calculs de normes en tout)
reste à le justifier proprement.
que ça suffit à prouver
- la coplanarité
- que tous les côtés ont même longueur
- et que les trois diagonales aussi ont même longueur
- et donc 6 triangles équilatéraux avec le milieu commun des diagonales
Bonjour,
Malgré l'absence de réaction de Roxyneee, je propose une synthèse de ce qui précède.
verdurin signale que les coordonnées des 6 points vérifient une relation très simple.
Les 6 points sont donc coplanaires.
Les 6 triangles équilatéraux évoqués par mathafou sont faciles à démontrer analytiquement.
Il me semble que ça suffit pour conclure.
lake et Panurge introduisent le même point G de coordonnées (3 ; 3 ; 3).
Écrire les coordonnées des six points dans le repère rend ce qui précède presque évident, et permet de "voir" le cube évoqué par verdurin.
Sinon, utiliser les neuf plans d'équation x, y ou z = 2, 3 ou 4 dont six sont des plans du cube.
Bonsoir,
J'avais fait allusion à mes bévues (au pluriel). L'une d'entre elles était l'ordre des points de l'hexagone.
Si j'en crois ma figure, il s'agit de l'hexagone ou
suivant le sens choisi.
@ lake
je pense que les rabattements en géométrie descriptive ne sont plus au programme depuis belle lurette
en tout cas je n'avais pas vérifié l'ordre des points :
à faire plusieurs choses à la fois (en ouvrant plusieurs fenêtres Geogebra en même temps) il a fini par se planter et j'ai perdu la figure que j'avais faite pour cet exo...
mais il me semble bien me souvenir que l'ordre des points n'était pas l'ordre "naturel" ABCDEF.
si je place l'origine en (2,2,2) comme Sylvieg géogebra 3D me montre bien l'hexagone ABDEFC
Bonsoir mathafou,
je pense que les rabattements en géométrie descriptive ne sont plus au programme depuis belle lurette
Et tu penses bien !
J'ai balancé une épure qui n'a aucune valeur de preuve d'autant plus que les lignes de construction prouvant que que les 6 points appartiennent au plan
J'espère simplement qu'un néophyte puisse y voir quelques bricoles.
On "voit" et on constate ...
Juste pour le "fun" ai-je dit
elle a l'utilité de faire apparaitre le plan de coupe contenant cet hexagone, et d'être plus "propre" que les figures 3D de Geogebra qui sont, il faut bien le dire, assez affreuses d'un point de vue esthétique.
(pour ceux qui ont été nourris aux figures particulièrement propres des Lebossé Hémery depuis la 6ème)
mais qui ont l'avantage de se faire en quelques minutes.
taper les coordonnées des 6 points (diminuées de 2), les relier, ajouter le cube en deux clics.
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