Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau Prepa (autre)
Partager :

montrer que c'est un entier

Posté par
Pechor
07-10-20 à 19:53

bonoir,

J'ai un exercice qui consiste à montrer que\frac{n^5}{5}+\frac{n^3}{3}+\frac{7n}{15} est un entier,  je suppose qu'il faut utiliser la partie entière mais je ne sais pas comment m'y prendre...

Posté par
carpediem
re : montrer que c'est un entier 07-10-20 à 20:04

salut

déjà réduire au même dénominateur ...

ensuite revenir à la définition : à quelle condition un quotient est entier ?

Posté par
Pechor
re : montrer que c'est un entier 07-10-20 à 21:02

Donc il faudrait que je montre que le reste de  3n^5+5*n^3+7n par 15 est 0?

Posté par
XZ19
re : montrer que c'est un entier 07-10-20 à 21:03

Bonjour  
Une récurrence  sera la bienvenue!

Posté par
Pechor
re : montrer que c'est un entier 07-10-20 à 21:10

Ah oui c'est bien  plus simple avec une récurrence , merci beaucoup!

Posté par
carpediem
re : montrer que c'est un entier 07-10-20 à 21:10

Pechor : exactement ...

(et une récurrence n'est pas nécessaire )

Posté par
Pechor
re : montrer que c'est un entier 07-10-20 à 21:17

Ah bon?! Comment peut-on faire autrement svp?

Posté par
XZ19
re : montrer que c'est un entier 07-10-20 à 21:19

Oui  bien sûr  on n'est pas obliger de faire une récurrence.  Disons que je propose une seconde démarche.  

Posté par
carpediem
re : montrer que c'est un entier 07-10-20 à 21:28

Pechor @ 07-10-2020 à 21:17

Ah bon?! Comment peut-on faire autrement svp?
quand tu auras fini avec la récurrence ( ... mais tellement de calculs )

je te proposerai une réponse en deux lignes ... (mais il faut la mériter)

Posté par
Pechor
re : montrer que c'est un entier 07-10-20 à 21:33

il se trouve que j'ai fini ma récurrence ! Puis-je l'avoir s'il vous plaît ?

Posté par
carpediem
re : montrer que c'est un entier 07-10-20 à 21:54

ben montre ...

Posté par
Pechor
re : montrer que c'est un entier 07-10-20 à 22:44

montrons que pour tous n ,on a
3n^5+5n^3+7n =15k    avec k

Initialisation: vérifions que la propriété est vraie au rang 0,
5*0+3*0+7*0= 0 et 0 est bien un multiple de 15

D'où l'initialisation
Hérédité: Soit n, supposons que(n^4 +2n^3+3n^2+n+2) =15k est vraie.
But: 3(n+1)^5+5(n+1)^3+7(n+1) est un multiple de 15.

Soit 3(n+1)^5+5(n+1)^3+7(n+1)
=3n^5+5n^3+7n  + 15 *(n^4 +2n^3+3n^2+n+2)( par le binôme de newwton)
=15*(n^4 +2n^3+3n^2+n+2+k) (par hypothèse de récurrence)
(n^4 +2n^3+3n^2+n+2+k) est un entier car somme et produit d'entiers

D'où l'hérédité
Conclusion : Par principe de récurrence , on a pour tout n    3n^5+5n^3+7n =15k    est un multiple de 15



Donc pour répondre à l'exercice,
\frac{n^5}{5}+\frac{n^3}{3}+\frac{7n}{15} est un entier

Posté par
carpediem
re : montrer que c'est un entier 07-10-20 à 23:06

je préfère donc mes deux lignes :

dans la division par 15 :

m = 3n^5 + 5n^3 + 7n   a même reste que   n(3n^4 + 5n^2 - 8) = n(n^2 - 1)(3n^2 + 8) = (n - 1)n(n + 1)(3n^2 + 8) = 3(n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 20(n - 1)n(n + 1)

donc m est multiple de 15

Posté par
Foxdevil
re : montrer que c'est un entier 07-10-20 à 23:24

Bonsoir ,

ça se fait bien aussi avec les congruences module 3 et 5...

Posté par
carpediem
re : montrer que c'est un entier 07-10-20 à 23:25

n'est-ce pas ce que j'ai fait ?

Posté par
Foxdevil
re : montrer que c'est un entier 07-10-20 à 23:37

carpediem @ 07-10-2020 à 23:25

n'est-ce pas ce que j'ai fait ?

Oui, et avec une belle décomposition

J'entendais testant les cas de congruences directement sur l'expression. Il y a quelques cas à lister, mais les calculs modulo 3 et 5 se font très vite.

Posté par
gbm Webmaster
re : montrer que c'est un entier 08-10-20 à 06:15

Bonjour à tous,

@Pechor : pourrais-tu mettre à jour ton profil (qui affiche "terminale") en vertu de ceci :

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q12 - Dois-je forcément indiquer mon niveau lorsque je poste un nouveau sujet ?



Merci

Posté par
XZ19
re : montrer que c'est un entier 08-10-20 à 10:39

Bonjour
@Carpediem,  une récurrence se fait aussi pas plus de deux lignes.  En effet:

Un calcul élémentaire donne :  u_{n+1}-u_n= (n^2+n+1)^2 qui est un entier pour tout n\in \N. Une simple récurrence  montre que u_n est un entier pour tout n\in \N.  

Posté par
carpediem
re : montrer que c'est un entier 08-10-20 à 11:15

c'est vrai ...

Posté par
jsvdb
re : montrer que c'est un entier 08-10-20 à 13:40

Salut
En raisonnant en terme de classes (pour ceux qui veulent).
Je pousse un poil le raisonnement de carpediem en ajoutant que :

dans \Z/3\Z :  3n^5+5n^3+7n = -n^3+n = n(1-n^2)=n(1-n)(1+n) = 0

dans \Z/5\Z :  3n^5+5n^3+7n = 2(-n^5+n) = 2n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)=0

En deux lignes également.

Posté par
Foxdevil
re : montrer que c'est un entier 08-10-20 à 13:57

jsvdb @ 08-10-2020 à 13:40

En deux lignes également.
Moi j'ai 5 lignes...mais beaucoup plus courtes que vos 2 lignes...ça compte?

Posté par
jsvdb
re : montrer que c'est un entier 08-10-20 à 14:05

Bahhhh, je sais pô ! Faut voir avec le ministère de la Vérité et de la Censure ce qu'il en pense

Posté par
carpediem
re : montrer que c'est un entier 08-10-20 à 14:40



certes mais jsvdb doit invoquer l'argument que si p et q premiers divise n alors pq divise n

pour ma part je dois éventuellement mais en tout cas seulement invoquer la définition de la divisibilité (et invoquer une définition est évidemment moins complexe qu'invoquer un théorème) (simplement écrire que 3 \times 5k = 15k ou encore que 20 \times 3k = 15 \times 4k )

dans les deux nous utilisons le même argument  ; un produit de p entiers consécutifs est multiple de p (donc nous restons à égalité)

mais la simplicité d'un argument vaut mieux (du moins pour ma part) qu'un argument ... plus complexe ...

enfin je ne fais que des transformations d'écriture niveau collège ... (j'aime bien être minimaliste) même si je conçois qu'utiliser les congruences n'est qu'une commodité d'écriture ...



pour ce qui est du ministère de la Vérité et de la Censure :

nous sommes tous là pour produire de la vérité (et la justifier bien sûr)

quant à la censure je m'en garderai (il y en a déjà tellement : il suffit de voir l'actualité récente)

par contre on peut discuter du Beau et de l'esthétique d'une démonstration : simplicité, finesse, astuce, argument élémentaire, ...

la notion de Beau étant toute personnelle , je me refuserai toujours à nier votre affirmation disant que vous trouvez "belle" votre proposition ...
je ne partagerai éventuellement pas votre avis ...

Posté par
jsvdb
re : montrer que c'est un entier 08-10-20 à 15:02

Hey ! Temps mort ! respire ! On s'détend !

***image supprimée***

Posté par
carpediem
re : montrer que c'est un entier 08-10-20 à 15:04



moi aussi

ce qui ne signifie pas qu'il y ait un fond dans ce que je dis ...



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !