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Montrer que f est nulle
Bonsoir,
Je me bloque dans un petit exo dont le but est de démontrer qu'une fct est nulle.
Énoncé : f est continue de R vers [0;1] et qq soit x de R, f vérifie :
3f(x)=f(x/2)+f((x+1)/2)
Bonjour
Peut-être déjà montrer que f est une fonction constante. Pour ça, la dérivation est souvent l'outil adéquat.
Bonjour,
Une fonction continue sur un segment admet un maximum .
Soit donc ici M le maximum de f, atteint pour x=c.
Alors 3f(c)=3M, mais 3f(c)=f(c/2)+f((c+1)/2) 
2M
Cela n'implique-t-il pas quelque chose pour M ?
f admet aussi un minimum, m...
salut
fabo34 : f est-elle dérivable ?
larrech : peut très bien ne pas avoir d'extremum par exemple
par contre si f admet une limite L en +oo alors on en déduit que 3L = L + L donc L = 0
et de même en -oo
et là on peut utiliser ton raisonnement : f admet des extrema
mais il y a un si 
la relation de l'énoncé est équivalente à 3f(2x) = f(x) + f(x + 1/2)
si x = 0 alors 2f(0) = f(1/2)
si x = 1/2 alors 2f(1) = f(1/2)
si x = -1/2 alors 3f(-1) = f(-1/2) + f(0)
si x = -1 alors 3f(-2) = f(-1) + f(-1/2)
Puisque Sara99 ne se manifeste plus, avec les notations de 16h02, si l'on poursuit :
la considération du maximum donne
3M2M , ce qui n'est possible que si M=0
Raisonnement analogue avec le minimum m, dont on déduit m=0.
f est donc une fonction dont le maximum et et le minimum sont nuls
@carpediem Tu as raison, effectivement, j'ai interprété cela comme f définie sur [0, 1].
Je n'ai donc rien dit.
Mais je me demande si l'exo a été correctement retranscrit.
@carpediem: Bonsoir. Non. Effectivement. 
Disons que c'est prenable si on suppose en plus la fonction dérivable. Et peut-être ensuite raisonner par morceaux? En Tle, sur la continuité, ils n'y a que le TVI. Je ne voyais pas comment on peut s'en sortir avec ça. J'attends la réponse avec impatience.
Bonsoir,
Une piste qui me semble louche car elle n'utilise pas la continuité :
S'il existe a réel tel que f(a) soit non nul, on peut construire une suite dont un des termes va dépasser 1.
Poser u0 = a et v0 = f(a).
v0 > 0
f(u0/2) + f((u0+1)/2) = 3v0
Donc au moins un des termes de la somme est supérieur ou égal à (3/2)v0
Si f(u0/2) > (3/2)v0, on pose u1 = u0/2.
Sinon, on pose u1 = (u0+1)/2.
On pose alors v1 = f(u1)
v1 
(3/2)v0
Et on continue (sans jeu de mots).
vn, c'est à dire f(un) finira par dépasser 1.
Mais je me demande si l'exo a été correctement retranscrit.
Énoncé : f est continue de R vers [0;1] et qq soit x de R, f vérifie :
3f(x)=f(x/2)+f((x+1)/2)
On devine que quelque part il y a "démontrer que f est la fonction nulle".
Mais le message initial parle de "but" sans préciser comment est formulé ce but.
Et ce devrait être "f vérifie :
qq soit x de R, 3f(x)=f(x/2)+f((x+1)/2)"
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