Bonjour ! Je souhaite comprendre pourquoi la condition en rouge est nécessaire à la résolution de cet exercice :
Soit A un anneau et Z(A) un élément du centre de A. Montrer que l'application définie par est un morphisme d'anneaux surjectif.
A[x] est l'anneau des polynômes à coefficients dans A. Mon hypothèse est que la condition intervient lorsque l'on montre que est un morphisme au niveau multiplicatif mais j'ai du mal à voir pourquoi. En passant, ce morphisme est bien surjectif car où un polynôme constant ?
C'est évidemment un morphisme de groupes surjectif.
Pour que ce soit un morphisme d'anneaux, on demande que . Cela n'est pas automatique en général.
Prends par exemple et .
T'as envie de dire que ? Et ben c'est loupé. A n'est pas supposé commutatif, donc il peut très bien exister un tel que .
En revanche, si tu évalues en , commute avec tous les éléments de A, donc ses puissances aussi et donc tu auras bien, pour tous a,b,n,m, l'égalité
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