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Morphisme de groupes
Bonjour à tous,
j'aimerais résoudre un exo en algèbre sur les morphismes. Voici l'énoncé :
Soit f un morphisme de groupes de (Q,+) dans (Z,+) et a= f(1). Calculer f(1/2a) si a différent de 0. En déduire tous les morphismes de groupes de (Q,+) vers (Z,+)
Ma réponse : Nous avons l'égalité f(ab) = f(a) + f(b) pour tout a et b dans le groupe de départ (Q,+) et f(1) = a dans le groupe d'arrivée (Z,+).
Appliquons cela à notre expression 1/2a comme f est un morphisme de groupe : f(1/2a) = f(1)/(2a)
Puisque f(1) = a, nous avons :
f(1/2a) = a/(2a) = 1/2 ??
Ensuite, f(n) = f(1 + 1 + 1 + ... + 1) = f(1) + f(1) + f(1) + ... + f(1) = nf(1)
Donc, f(n) est égal à n fois la valeur de f(1).
En d'autres termes, pour chaque entier relatif n, le morphisme f envoie n sur nf(1). Ainsi, la valeur de f(1) détermine entièrement le morphisme de groupes de (Q,+) vers (Z,+).
En conclusion, tous les morphismes de groupes de (Q,+) vers (Z,+) sont de la forme f(n) = nf(1), où f(1) est un entier relatif.
Merci pour vos réponses.
Bonjour
Tu montres pour n entier naturel. les entiers naturels ne sont pas tous les éléments de
!
Ensuite, pourquoi est-ce que , en supposant
?
Et ne trouves-tu pas choquant qu'un morphisme à valeurs dans prenne la valeur
.
Essaie de remettre tout ça d'aplomb.
Bonjour
La conclusion est juste, mais pas les raisonnements.
Il s'agit de morphismes pour l'addition.
On a f(x+y)=f(x)+f(y) et non ce que tu as écrit.
Tu ne peux pas affirmer directement f(1/2a) =f(1)/f(2a); d'ailleurs tu trouves 1/2 qui n'est pas élément de l'espace d'arrivée, .
Alors: tu as presque fait la démonstration. Montre par récurrence que f(n)=nf(1).
Bonjour Camelia.
Pas d'accord, la conclusion telle qu'elle est formulée n'est pas ce qui est attendu !
f(1/(2a)) = f(1/(2f(1)))= 1/(2f(1))? je bloque je ne sais pas trop quoi faire.. mais pour la conclusion :
Les morphismes du groupe (Q,+) dans lui-même sont de la forme x → ax avec a ∈ Q.
Les morphismes du groupe (Q,+) dans (Z,+) sont, parmi les précédents, ceux dont l'image est dans Z; il n'y a que le morphisme
nul. ?
salut
a = f(1) donc a est entier
donc 2a = 1 + 1 + ... + 1 (2a termes 1)
or f est un morphisme donc ...
est un entier.
Utilise que est un morphisme de groupes additifs.
Le but de ma question est de te faire raisonner correctement pour montrer que si , on aboutit à une absurdité pour
.
D'accord merci,
j'ai essayé de procéder comme ça
Soit p et q des entiers naturels, on a f(p) = pf(1) et f(1/q)= (1/q)f(1) et comme a=f(1), alors a/q est un entier donc a=0.
D'où f(p) = f(1/q) = 0 et f(p/q) = pf(1/q)= 0 ?
Donc en déduit que f est le morphisme nul ?
Soit p et q des entiers naturels, on a f(p) = pf(1) et f(1/q)= (1/q)f(1) et comme a=f(1), alors a/q est un entier donc a=0.
Cette ment est pour le moins insuffisant. Explique.
puisque q > |a|, cela impliquerait que |a/q| < 1, ce qui est une contradiction, car a/q est un entier.
Ainsi, notre supposition selon laquelle a ≠ 0 est fausse. Par conséquent, nous concluons qu'il doit être égal à 0.
Cela signifie que f(1) = 0. En utilisant la première relation f(p) = pf(1), nous pouvons conclure que f(p) = 0 pour tout entier naturel p.
En résumé, on a que a = f(1) = 0, et par conséquent, f(p) = 0 pour tout entier naturel p.
ca me parait logique je ne sais pas comment l'expliquer mais f(1) représente l'image de l'élément 1 dans Q donc f(1/q)= (1/q)f(1)
"Ça me paraît logique" n'est pâs une démonstration.
J'en reviens à ma suggestion : étant un entier et
un morphisme de groupes additifs, que vaut
?
q * f(1/q) = q * f(q * (1/q)) = q * f(1) = f(1) + f(1) + ... + f(1) (q fois)
Puisque f est un morphisme de groupes additifs, f(1) + f(1) + ... + f(1) (q fois) est équivalent à f(1 + 1 + ... + 1) (q fois). En d'autres termes :
q * f(1/q) = f(q)
Que veut dire " fois" quand
est négatif ?
Relis-toi, ton dernier message ne va pas du tout. Qu'est-ce que c'est que ce "q * f(1/q) = q * f(q * (1/q)) " ???
vraiment désolé, je reprends :
f(1/2a) = (f1/2*1/a)= f(1/2) + f(1/a) car morphisme de groupe additif. puisque f(1) = a nous avons f(1/2)= 2f(1/2) + f(0) (f(0) = 0) donc f(1/2a) = f(1/2) + f(1/a) = 0 + f(1)/f(a) = a/2
On déduit que les morphismes de groupes de (Q,+) vers (Z,+) sont exactement les applications f telles que f(x) = ax pour un certain entier a
" f(1/2)= 2f(1/2) + f(0) " ????
Bon, j'achève :
Puisque est additif, on a pour tout entier naturel
et tout rationnel
:
Si est un entier
:
En posant , on a donc :
Si ceci entraîne
et donc
, absurde.
Par conséquent , donc pour tout entier relatif
,
et pour tout entier
,
, d'où
.
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