Niveau école ingénieur

Mouvement cycloidal

Posté par
Samossa 25-10-11 à 21:25

Bonjour,

je bloque à la question d'un exercice voilà l'énoncé:
Dans un plan rapporté au repère orthonormé (Ox, Oy) (dit référentiel R, un cercle de centre C et de rayon R roule sans glisser sur l'axe Ox. La vitesse du centre C dans le référentiel R est constante et égale à v.
On s'intéresse au mvt du décrit par le point P de la circonférence. Pour définir la position de P sur le cercle, le point P est défini par = ( , , H étant la projection orthogonale de centre C sur l'axe Ox, A t=0, est égal à 0 et P est en O.

2)Calculer l'abscisse curviligne de P à l'instant t (en se retreignant à la 1ère arche)
J'ai déjà préalablement trouvé:

-l'équation paramétrique du mvmt de P: Puisque = + + alors x=R( - sin( ) et y= R ( 1- cos( )

-la vitesse angulaire = v/R (car = vt/ R )

-on en déduit l'équation paramétrique de P suivante :
x=R( t - sin( t ) et y= R ( 1- cos( t )

Je dois ensuite calculer cette abscisse curviligne ^^ Mais après de noooombreux essais, j'y arrive pas ^^ voilà entre autres ce que j'ai fait :
s= vp dt avec vp la vitesse du point P
je dérive le vecteur OP, je calcule sa norme et j'arrive à :
s= 2 R 1-cos( t ) dt
Mais je ne sais pas intégrer ça, le prof ns a donné la réponse : s= 4 (1- cos( t /2)

Merci d'avance pour l'aide !!

Posté par re : Mouvement cycloidal 25-10-11 à 21:27

Je l'ai mal écrit pour s, on a racine de 1-cos( t )

Posté par re : Mouvement cycloidal 26-10-11 à 01:04

coordonnées paramétriques

x=r(t-sin(t))
y=r(1-cos(t))

dérivée:
x'=r(1+cos(t))
y'=-r sin(t)

$s=\int \sqrt{x'^2+y'^2}\text dt$

$s=r\int \sqrt{(1+\cos(t))^2+\sin(t)^2}\text dt$

$s=r\sqrt2\int\sqrt{1+\cos(t)}\text dt$

on utilise 1+cos(2a)=2cos(a)²

$s=2r\int\sqrt{\cos(t/2)^2}\text dt$

sur la demi-arche :
$s=2r\int\cos(t/2)\text dt = 4r\sin(t/2)$

Posté par re : Mouvement cycloidal 26-10-11 à 08:56

Okay ^^

Merci !

Posté par re : Mouvement cycloidal 28-10-11 à 23:41

Re Bonjour,
je ne comprends pas car lorsqu'on dérive on a :
x'=r(1-cos(t))
et y'= r sin(t)

Je me suis trompée ??

Posté par re : Mouvement cycloidal 29-10-11 à 09:56

ben non, je ne vois pas pourquoi j'ai intégré au lieu de dériver, la fatigue, sans doute.

Dans le repère fixe $R_1$
Le centre C du cercle a pour coordonnées (vt,r)
Le point P sur la circonférence du cercle, de coordonnées (x(t), y(t)), est en (0,0) au moment t=0
Dans le repère mobile $R_2$ lié au centre C, ses coordonnées sont $(x_2(t),y_2(t))$

En fonction de l'angle orienté $\theta(t)$ mesuré dans $R_2$ entre sa positon initiale ( $\theta(0)=0$ ) et sa position sur le cercle au moment t, nous avons
$x_2=r\cos(-\frac{\pi}2+\theta)=r\sin(\theta) \\ y_2=r\sin(-\frac{\pi}2+\theta)=-r\cos(\theta)$

en t=0, $\theta(0)=0$
$x_2(0)=0 \\ y_2(0)=-r$

Au moment t, le point P a tourné dans le repère $R_2$ d'une longueur égale à la distance franchie par le centre C dans le repère $R_1$ , c'est à dire vt, il a tourné d'un angle $\theta = -\frac vrt$

donc nous avons
$x_2(t)=r\sin(-\frac vrt)=-r\sin(\frac vrt) \\ y_2=-r\cos(-\frac vrt)=-r\cos(\frac vrt)$

par changement de repère $R_2 \rightarrow R_1$ , ou pas composition des mouvements, nous avons
$x=vt+x_2 \\ y=r+y_2$

$x=vt-r\sin(\frac vrt) \\ y=r(1-\cos(\frac vrt))$

les composantes vitesse de P dans $R_1$ sont donc
$x'=v-r\frac vr\cos(\frac vrt) = v(1-\cos(\frac vrt)) \\ y'=r\frac vr\sin(\frac vrt) = v\sin(\frac vrt)$

Son abscisse curviligne $s(t_1)$ est donc
$s=\int_0^{t_1}\sqrt{x'^2+y'^2}\text dt$

$s=v\int_0^{t_1}\sqrt{(1-\cos(\frac vrt))^2+\sin(\frac vrt)^2}\text dt$

$s=v\int_0^{t_1}\sqrt{2(1-\cos(\frac vrt))}\text dt$

$s=v\int_0^{t_1}\sqrt{2(2\sin(\frac v{2r}t)^2)}\text dt$

$s=2v\int_0^{t_1}|\sin(\frac v{2r}t)|\text dt$

pour $t_1\in[0;\frac{2\pi r}v]$ , ce qui correspond à la première arche de la cycloïde)
$\sin(\frac v{2r}t\ge0$

$s=2v\int_0^{t_1}\sin(\frac v{2r}t)\text dt$

$s=2v\left[-\frac{2r}v\cos(\frac v{2r}t)\right]_0^{t_1}$

Sur $[0;\frac{2\pi r}v]$
$s(t)=4r(1-\cos(\frac v{2r}t))$

ci-dessous, la cycloïde, le vecteur vitesse du point P et l'abscisse curviligne, donnée non pas en fonction du temps, mais en regard de la position de P.
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