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Intervalle de fluctuation en terminale
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moyenne, médiane, écart-type
Posté par fabo34
Bonjour à tous.
Quelle surprise pour moi d'être tombé "par hasard" sur l'inégalité suivante: . À savoir l'écart entre la moyenne et la médiane est toujours plus petit que l'écart-type ! Quel beau résultat! Mes bras m'en tombent car je ne connaissais pas. On pourrait enseigner ça en seconde au moment de l'introduction de l'écartype, avec médiane et moyenne déjà vu en 3ème
Connaissez-vous une preuve de ce résultat accessible à un lycéen? D'éventuelles implications? C'est une belle inégalité, qui relie plusieurs notions fondamentales, et qui mériterait d'être plus célèbre. (ou alors c'est juste moi qui suis inculte 
).
Bonsoir fabo34
Posons les écarts et la distance
.
Comme une médiane laisse au plus écarts strictement d'un même signe, l'inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée aux termes de même signe que
donne :
,
soit .
Ce qui conclut la preuve.
Quelques applications de lycée :
- Étant données la moyenne et l'écart type d'une série, dans quel intervalle la médiane peut-elle se situer ?
- Construire une série de données dont la moyenne vaut et la médiane vaut
.
- Est-il possible qu'une série de données ait pour moyenne , pour médiane
, et pour écart type
?
- Pour une moyenne et un écart type fixés, construire une série où l'écart entre moyenne et médiane est maximal.
- ...