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[MPSI] calcul de cos pi/17

Posté par
julietmt 24-09-17 à 12:13

Bonjour, je suis bloquée dans mon dm.


x1=cos 3a+cos 5a+cos 7a+cos11a
x2= cosa+cos 9a+cos13a+cos15a

J'ai montrer que x1>0, j'ai calculer x1+x2 =1/2

maintenant, je dois calculer x1x2 et je suis bloquée.
J'ai tout développer puis linéariser mais je ne sais plus quoi faire. Je devrais trouver x1x2=-2(x1+x2)

Merci de votre aide.

Posté par
nadiasoeur123re : [MPSI] calcul de cos pi/17 24-09-17 à 14:09

Bonjour ;

Il n'y a pas de raccourci  : on exhibe purement et simplement le produit , puis on utilise

la formule : cos(x)cos(y) = \dfrac{1}{2}(cos(x+y) + cos(x-y)) pour faire disparaître les produits .

x_1 x_2 = (cos(3a) + cos(5a) + cos(7a) + cos(11a))(cos(a) + cos(9a) + cos(13a) + cos(15a)) ,

tu auras 16 termes de la forme : cos(pa)cos(qa) que tu transformeras

en des \dfrac{1}{2}(cos((p+q)a) + cos((p-q)a)) par la formule précitée ,

ensuite tu utiliseras les formules : cos(2\pi - x) et cos(\pi - x)

pour obtenir un multiple de x_1 + x_2 .

Ce sont là les grandes lignes de cette démarche .

Posté par
Razesre : [MPSI] calcul de cos pi/17 24-09-17 à 14:45

On peut minimiser le nombre de termes ainsi:

\cos p+\cos q=2\cos {\dfrac {p+q}{2}}\cos {\dfrac {p-q}{2}}

x_1=(\cos 3a+\cos 11a)+(\cos 5a+\cos 7a)=2\cos 7a\cos 4a+2\cos 6a\cos a\\ \\ x_2= (\cos a+\cos 9a)+(\cos 13a+\cos 15a) =2\cos 5a\cos 4a+2\cos 14a\cos a

x_1x_2=\hdots Développer et factoriser autrement. Ca sera plus simple

Posté par
julietmtre : [MPSI] calcul de cos pi/17 24-09-17 à 15:15

nadiasoeur123, justement c'est ce que j'ai fait mais je trouve :
= 1/2 [ 4cos2a+4cos4a+4cos6a+3cos8a+3cos10a+3cos12a+cos14a+cos16a+2cos18a+ 3cos20a+cos22a+cos24a+cos26a]
Et donc la je suis vraiment bloquée ..

Posté par
lafol Moderateurre : [MPSI] calcul de cos pi/17 24-09-17 à 16:12

Bonjour
qui est a ? n'y aurait-il pas moyen de voir ces sommes comme des parties réelles de trucs genre u, u^3 etc avec u = exp(ia) ? (avec un peu de chance u^(un certain nombre) = 1 et ça simplifie grandement les sommes)

Posté par
Razesre : [MPSI] calcul de cos pi/17 24-09-17 à 18:42

julietmt @ 24-09-2017 à 12:13


x1=cos3a+cos 5a+cos 7a+cos11a
x2= cosa+cos 9a+cos13a+cos15a
J'ai montrer que x1>0, j'ai calculer x1+x2 =1/2


Est ce que ce sont les bonnes valeurs?

Posté par
Razesre : [MPSI] calcul de cos pi/17 24-09-17 à 18:45

Razes @ 24-09-2017 à 18:42

J'ai montrer que x1>0, j'ai calculer x1+x2 =1/2
Comment as obtenu cette valeur? Donc tu connais a?

Posté par
nadiasoeur123re : [MPSI] calcul de cos pi/17 24-09-17 à 18:52

Bonsoir ;

Razes @ 24-09-2017 à 18:45

Comment as obtenu cette valeur? Donc tu connais a?

a = \dfrac{\pi}{17}

Posté par
lafol Moderateurre : [MPSI] calcul de cos pi/17 24-09-17 à 19:07

ça ne serait pas 2 pi sur 17 ?

Posté par
nadiasoeur123re : [MPSI] calcul de cos pi/17 24-09-17 à 19:44

julietmt @ 24-09-2017 à 15:15

nadiasoeur123, justement c'est ce que j'ai fait mais je trouve :
= 1/2 [ 4cos2a+4cos4a+4cos6a+3cos8a+3cos10a+3cos12a+cos14a+cos16a+2cos18a+ 3cos20a+cos22a+cos24a+cos26a]
Et donc la je suis vraiment bloquée ..


On a : cos(26a) = cos(2\pi - 26a) = cos(2\pi - \dfrac{26\pi}{17}) = cos(\dfrac{8\pi}{17}) = cos(8a) ,

de même on aura : cos(24a) = cos(10a) ; cos(22a) = cos(12a) ; cos(20a) = cos(14a); et cos(18a) = cos(16a) .

Posté par
nadiasoeur123re : [MPSI] calcul de cos pi/17 24-09-17 à 20:09

Je m'excuse , j'ai fait une fausse manoeuvre . Je continue sur le travail de Julietmt.

x_1x_2 = 2cos(2a) + 2cos(4a) + 2cos(6a) + \dfrac{3}{2} cos(8a) + \dfrac{3}{2} cos(10a) \\

+ \dfrac{3}{2} cos(12a) + \dfrac{1}{2} cos(14a) + cos(16a) + cos(18a) + \dfrac{3}{2} cos(20a)

+ \dfrac{1}{2} cos(22a) + \dfrac{1}{2} cos(24a) + \dfrac{3}{2} cos(26a)

\\ = 2(cos(2a) + cos(4a) + cos(6a) + cos(8a) + cos(10a) + cos(12a) + cos(14a) + cos(16a))

Donc en utilisant la formule : cos(\pi - x) = - cos(x) , on aura :

cos(16a) = - cos(a) ; cos(14a) = - cos(3a) ; cos(12a) = - cos(5a) ; cos(10a) = - cos(7a) ;

cos(8a) = - cos(9a) ;  cos(6a) = - cos(11) ;  cos(4a) = - cos(13a) ; cos(2a) = - cos(15a) , \\

donc x_1x_2 = - 2((cos(3a) + cos(5a) +cos(7a) +cos(11a) ) + (cos(a) +cos(9a) +cos(13a) +cos(15a)) )

\\ = - 2(x_1 + x_2) = - 2 * (\dfrac{1}{2}) = - 1 .


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