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Niveau Maths sup
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MPSI : la fonction arctan(x)

Posté par
lea75014
30-10-22 à 14:21

Bonjour,

Ci-joint veuillez trouver l'énoncé du problème.
Mes recherches :
J'ai réussi à répondre à la première question j'obtiens S=(1-(-t^2)^n)/(t^2+1).
Cependant, pour la seconde je ne vois pas par ou commencer. Je vois qu'au sein de l'intégrale se trouve la dérivée de arctan(x), faut-il donc calculer l'intégrale ?
Concernant la somme on voit l'expression de la primitive de x^2k. On pourrait donc calculer la somme à l'aide d'une intégrale...
Merci de votre aide par avance.

** image supprimée **

Posté par
carpediem
re : MPSI : la fonction arctan(x) 30-10-22 à 14:43

salut

tu as tous les outils sur le site pour écrire l'énoncé (afin qu'il soit référencé) sans passer par une image (qui est interdite telle quelle)

2/ il suffit de dériver arctan

Posté par
lea75014
re : MPSI : la fonction arctan(x) 30-10-22 à 14:55

\tan^{-1} =\sum_{k=0}^{n-1}{}\frac{(-1)^k*x^2^k^+^1}{2k+1}+(-1)^n\int_{0}^{x}{\frac{t^2}{1+t^2}}
\tan^{-1} =\sum_{k=0}^{n-1}{}\frac{(-1)^k*x^2^k^+^1}{2k+1}+(-1)^n\int_{0}^{x}{\frac{t^2}{1+t^2}}

Posté par
lea75014
re : MPSI : la fonction arctan(x) 30-10-22 à 14:58

Bonjour, je n'ai pas réussi à écrire t^2n avec les outils du site...
Une fois arctan dérivé, que faire ? Je dérive l'expression à droite de l'égalité ?

Posté par
carpediem
re : MPSI : la fonction arctan(x) 30-10-22 à 15:12

ne vois-tu pas que cette dérivée s'écrit 1/(1 + h) avec h = ... ?

et quel est le dl de 1/(1 + h) ?

Posté par
verdurin
re : MPSI : la fonction arctan(x) 30-10-22 à 15:19

Bonjour,
je réécris juste l'égalité que tu as trouvé :

\sum_{k=0}^{n-1}(-t^2)^k=\dfrac1{t^2+1}-(-1)^n\dfrac{t^{2n}}{t^2+1}

Posté par
lea75014
re : MPSI : la fonction arctan(x) 30-10-22 à 15:24

h=tan^2(arctan(y)) ?
Concernant les dl on ne les a pas encore vu

Posté par
carpediem
re : MPSI : la fonction arctan(x) 30-10-22 à 15:37



[arctan x ]' = ... ?

Posté par
lea75014
re : MPSI : la fonction arctan(x) 30-10-22 à 15:39

verdurin @ 30-10-2022 à 15:19

Bonjour,
je réécris juste l'égalité que tu as trouvé :

\sum_{k=0}^{n-1}(-t^2)^k
=\dfrac1{t^2+1}-(-1)^n\dfrac{t^{2n}}{t^2+1}
[/tex]


Bonjour, existe-t-il un lien entre l'intégrale et le -(-1)^n\dfrac{t^{2n}}{t^2+1} dans l'égalité de la \sum_{k=0}^{n-1}(-t^2)^k}

Posté par
malou Webmaster
re : MPSI : la fonction arctan(x) 30-10-22 à 15:39

Bonjour
merci de recopier l'énoncé
pour écrire t^2n et obtenir t^{2n} il suffit d'écrire t^{2n} entre les balises Ltx

Posté par
lea75014
re : MPSI : la fonction arctan(x) 30-10-22 à 15:42

carpediem @ 30-10-2022 à 15:37



[arctan x ]' = ... ?


[arctan x ]'= 1/1+x^2 oui

Posté par
verdurin
re : MPSI : la fonction arctan(x) 30-10-22 à 15:52

La dérivée de la fonction xarctan(x) est la fonction x1/(1+x^2) et non la fonction n x1/1+x^2=1+x^2.

Posté par
lea75014
re : MPSI : la fonction arctan(x) 30-10-22 à 16:07

Oui pardon j'avais oublié les parenthèses. Et une fois la fonction dérivée, que faire ?

Posté par
verdurin
re : MPSI : la fonction arctan(x) 30-10-22 à 16:08

Intégrer de 0 à x.

Posté par
lea75014
re : MPSI : la fonction arctan(x) 30-10-22 à 16:14

J'obtiens : \frac{x^{2n+1}}{2n+1}*arctan(x)

Posté par
verdurin
re : MPSI : la fonction arctan(x) 30-10-22 à 16:43

On part de ça :
\sum_{k=0}^{n-1}(-t^2)^k=\dfrac1{t^2+1}-(-1)^n\dfrac{t^{2n}}{t^2+1}

On fait une manip évidente pour obtenir :
\dfrac1{t^2+1}=\sum_{k=0}^{n-1}(-t^2)^k+(-1)^n\dfrac{t^{2n}}{t^2+1}

Puis on intègre les deux membres de l'égalité entre 0 et x.

Posté par
lea75014
re : MPSI : la fonction arctan(x) 31-10-22 à 13:54

Merci beaucoup, j'y suis parvenue ! Bonne journée

Posté par
carpediem
re : MPSI : la fonction arctan(x) 31-10-22 à 14:44

de rien et à toi aussi

Posté par
lea75014
re : MPSI : la fonction arctan(x) 31-10-22 à 16:39

Je vous relance,
Je dois aussi montrer que, \left|pi-Sn \right|\leq \frac{16}{(2n+1)5^{ 2n+1}}
Grâce à,

\frac{pi}{4}=4\tan^{-1} (\frac{1}{5})-\tan^{-1} (\frac{1}{239})

( Avec Sn une somme qu'on précisera.
On pose x=1 et on sait que , l'intégrale \int_{0}^{x}{\frac{t^2^n}{t^2+1}}dt\leq \frac{x^{2n+1}}{2n+1}
grâce à la majoration des intégrales )


J'ai eu l'idée de développer arctan avec des séries entières mais nous ne l'avons pas encore vu, j'ai donc peur de mal l'utiliser.
Auriez vu une autre méthode à me conseiller ?

Posté par
carpediem
re : MPSI : la fonction arctan(x) 31-10-22 à 18:32

l serait bien de nous donner l'énoncé exact et complet une bonne fois pour toute afin de faire le lien entre les questions et savoir où l'on va ...

Posté par
lea75014
re : MPSI : la fonction arctan(x) 01-11-22 à 09:36

A la question 1. nous avons trouver une expression de \sum_{k=0}^{n-1}{(-t^2)^k}
A la question 2. on a trouvé une expression de arctan grâce aux intégrales ( les réponses ci-dessus)
A la question 3. j'ai montré que l'intégrale \int_{0}^{x}{\frac{t^{2n}}{t^2+1}}dt ( l'intégrale dans l'expression de arctan question 2) est majorée par \frac{x^{2n+1}}{2n+1} et est supérieure à 0
A la question 4. j'ai montré que pour x=1 on a bien \left|pi-4\sum_{k=0}^{n-1}{\frac{(-1)^k}{2k+1}} \right|\leq \frac{4}{2n+1}, grâce à la question d'avant et l'expression de arctan(x) question 1
A la question 5 on doit donc montrer que \left|pi-Sn \right|\leq \frac{16}{(2n+1)5^{2n+1}}
Grâce à l'expression de \frac{pi}{4}=4\tan^{-1} (1/5)-\tan^{-1}(1/239) (expression de Machin)

Posté par
carpediem
re : MPSI : la fonction arctan(x) 01-11-22 à 09:45

donc \pi/4 + \tan^{-1} (1/239) = 4 \tan^{-1} (1/5) et tu développes en série ce dernier terme grâce aux questions précédentes ... puis tu bricoles des choses avec l'autre terme

Posté par
lea75014
re : MPSI : la fonction arctan(x) 01-11-22 à 12:10

Le problème est que nous n'avons pas vu le développement en séries, auriez-vous une autre méthode ?

Posté par
carpediem
re : MPSI : la fonction arctan(x) 01-11-22 à 12:32

lea75014 @ 30-10-2022 à 14:55

\tan^{-1} =\sum_{k=0}^{n-1}{}\dfrac{(-1)^k*x^2^k^+^1}{2k+1}+(-1)^n\int_{0}^{x}{\dfrac{t^2}{1+t^2}} dt
\tan^{-1} =\sum_{k=0}^{n-1}{}\dfrac{(-1)^k*x^2^k^+^1}{2k+1}+(-1)^n\int_{0}^{x}{\dfrac{t^2}{1+t^2}}dt
et ça c'est quoi ?

n'est ce pas une série avec un reste intégral ?

Posté par
carpediem
re : MPSI : la fonction arctan(x) 01-11-22 à 12:33

ne vois-tu pas dans le résultat ce (1/5)^(2n + 1) en remplaçant x par 1/5 ?

Posté par
carpediem
re : MPSI : la fonction arctan(x) 01-11-22 à 12:35

lea75014 @ 01-11-2022 à 12:10

Le problème est que nous n'avons pas vu le développement en séries, auriez-vous une autre méthode ?
et le pb n'est pas d'avoir vu ou pas le pb c'est de découvrir et manipuler avec une construction et c'est ce que te propose cet exercice

donc il n'est pas question de faire autre chose que ce qui est demandé !!

Posté par
lea75014
re : MPSI : la fonction arctan(x) 01-11-22 à 15:05

J'obtiens pour l'instant,  
pi - \sum_{k=0}^{n-1}{\frac{(-1)^k}{2k+1}(\frac{16}{5^{2k+1}}-\frac{4}{239^{2k+1}})}\leq \frac{4}{2n+1}
mon résultat est-il juste ?
J'ai remplacé arctan(1/5) et arctan (1/239) par l'expression obtenue à la question 2 de arctan(x)

Posté par
carpediem
re : MPSI : la fonction arctan(x) 01-11-22 à 17:47

mais as-tu lu la question ?

on ne te demande pas cette majoration mais celle obtenue à la question 3 !!

Posté par
lea75014
re : MPSI : la fonction arctan(x) 01-11-22 à 21:50

Ce que j'ai la est-il correct pour le moment ? J'ai noté I(x) l'intégrale

MPSI : la fonction arctan(x)

Posté par
lea75014
re : MPSI : la fonction arctan(x) 01-11-22 à 21:51

Veuillez m'excuser il y a eu une erreur de fichier...
Ce que j'ai la est-il correct pour le moment ? J'ai noté I(x) l'intégrale

MPSI : la fonction arctan(x)

Posté par
lea75014
re : MPSI : la fonction arctan(x) 02-11-22 à 13:59

carpediem @ 01-11-2022 à 17:47

mais as-tu lu la question ?

on ne te demande pas cette majoration mais celle obtenue à la question 3 !!
carpediemcarpediem

Est-ce ce dont vous m'avez parlé ?

Posté par
carpediem
re : MPSI : la fonction arctan(x) 02-11-22 à 14:31

il faut majorer les intégrales avec

lea75014 @ 31-10-2022 à 16:39

avec x < 1  \int_{0}^{x}{\dfrac{t^2^n}{t^2+1}}dt\leq \dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}
grâce à la majoration des intégrales )

Posté par
lea75014
re : MPSI : la fonction arctan(x) 02-11-22 à 15:12

Comme ceci ?

MPSI : la fonction arctan(x)

Posté par
carpediem
re : MPSI : la fonction arctan(x) 02-11-22 à 15:36

je ne lis pas une image mal orientée ...

d'autre part il faut écrire sur le site tes réponses ...

Posté par
lea75014
re : MPSI : la fonction arctan(x) 02-11-22 à 15:57

carpediem @ 02-11-2022 à 15:36

je ne lis pas une image mal orientée ...

d'autre part il faut écrire sur le site tes réponses ...


\frac{pi}{4}-4\sum_{k=0}^{n-1}{\frac{(-1^)^k(1/5)^{2n+1}}{2k+1}}+\sum_{k=0}^{n-1}{\frac{(-1^)^k(1/239)^{2n+1}}{2k+1}}\leq \frac{(1/5)^{2n+1}}{2n+1}-\frac{(1/239)^{2n+1}}{2n+1}

Posté par
carpediem
re : MPSI : la fonction arctan(x) 02-11-22 à 18:24

ne serait-ce pas un moins devant la deuxième somme ?

ensuite si a < b - c et c est positif alors simplement a < b

Posté par
carpediem
re : MPSI : la fonction arctan(x) 02-11-22 à 18:26

ha non pour le moins ....

et si a - b  + c < d et c est positif alors a -b < d

Posté par
lea75014
re : MPSI : la fonction arctan(x) 02-11-22 à 18:32

carpediem

carpediem @ 02-11-2022 à 18:24

ne serait-ce pas un moins devant la deuxième somme ?

ensuite si a < b - c et c est positif alors simplement a < b


Non pourquoi serait-ce un - ? On part de pi/4=arctan(1/5)-arctan(1/239), après oui je vais factoriser l'ensemble des 2 sommes par un -  pour retrouver l'expression souhaité ( valeur absolue de pi - Sn ) donc j'aurai un - devant à ce moment là

Posté par
lea75014
re : MPSI : la fonction arctan(x) 02-11-22 à 18:34

carpediem @ 02-11-2022 à 18:26

ha non pour le moins ....

et si a - b  + c < d et c est positif alors a -b < d


Je n'ai pas très bien compris, je n'ai plus l'expression de la deuxième somme dans l'expression finale ?

Posté par
lea75014
re : MPSI : la fonction arctan(x) 03-11-22 à 13:58

carpediem @ 02-11-2022 à 18:26

ha non pour le moins ....

et si a - b  + c < d et c est positif alors a -b < d


Et une fois que j'ai majoré le tout je ne vois pas d'ou provient le 16.
pi-16\sum_{k=0}^{n-1}{\frac{(-1^)^k(1/5)^{2n+1}}{2k+1}}+4\sum_{k=0}^{n-1}{\frac{(-1^)^k(1/239)^{2n+1}}{2k+1}}\leq \frac{4}{(2n+1)*5^{2n+1}}

On a bien cela sommes-nous d'accord ?

Posté par
carpediem
re : MPSI : la fonction arctan(x) 03-11-22 à 14:35

quand on pi/4 = ... alors pi = 4 * (....)

Posté par
lea75014
re : MPSI : la fonction arctan(x) 03-11-22 à 14:46

carpediem @ 03-11-2022 à 14:35

quand on pi/4 = ... alors pi = 4 * (....)


oui, mais j'ai déjà multiplié par 4 ?

Posté par
lea75014
re : MPSI : la fonction arctan(x) 03-11-22 à 16:57

carpediem @ 03-11-2022 à 14:35

quand on pi/4 = ... alors pi = 4 * (....)


Il faut encore que je multiplie par 4 pour avoir 16 mais comment ?



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