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Niveau IUT/DUT
Mq n!+1 et (n+1)!+1 premiers entre eux
Posté par Hick_Jeck
Bonsoir,
Je viens vers vous car aujourd'hui, nous avons fait un exercice d'arithmétique, mais je n'ai pas compris grand chose (et j'aime bien comprendre).
La consigne est assez bête : Montrer que n!+1 et (n+1)!+1 premiers entre eux. On pourra utiliser une décomposition non euclidienne de (n + 1)!+1 par n!+1.
Je vous recopie un peu bêtement ce qu'on a fait en cours en je commenterai cela ensuite.
///////////////
Décomposition de (n+1)!+1 par n!+1 :
(n+1)! + 1 = (n!+1).k1 + k2, k1, k2 € IN
Par identification, on trouve :
(n+1)! + 1 = (n!+1)(n+1) - n
<=> (n+1).n! = (n!+1)(n+1) - n // Seul enchaînement que je comprends 
=> pgcd[(n+1)!+1, n!+1] = pgcd(n!+1, n)
On applique ensuite le théorème de Bezout :
u(n!+1) + vn = 1
1*(n!+1)-(n-1)!n = 1
=> pgcd (n!+1, n) = 1
///////////////////////////
Je vais être assez clair, je ne comprends absolument aucun enchaînement (à part celui que j'ai marqué, mais ça ne compte pas puisque c'est la définition récursive de factoriel 
), même connaissant mon cours. J'avais commencé à faire l'exercice seul, puis cette démonstration que la prof a faite m'a complètement perdu. Sauriez-vous me l'expliquer ?
Merci d'avance,
Hick_Jeck
Bonsoir,
on a (n+1)!+1=(n!+1)(n+1)-n
supposons que k soit un diviseur commun à (n+1)!+1 et à n!+1.
On a alors (n+1)!+1=k.a et n!+1=k.b
En reportant dans l'égalité précédente : k.a=k.b-n
Il en découle que k divise n
Donc k divise n et n!+1
Il en découle de façon triviale que pgcd[(n+1)!+1, n!+1] = pgcd(n!+1, n)
La suite de ta démonstration me semble inutilement tarabiscoté. Il s'agit d'exprimer le fait évident que n et n!+1 sont premier entre eux.
Merci de cette réponse verdurin.
Je passe sur le "on a (n+1)!+1=(n!+1)(n+1)-n". Je vois comment on y arrive, je ne vois pas pourquoi et qu'est ce qui pourrait m'y aiguiller. Je vois qu'on s'en sert par la suite, mais comme je ne comprends pas comment on s'en sert, ça ne m'aide pas.
« supposons que k soit un diviseur commun à (n+1)!+1 et à n!+1.
On a alors (n+1)!+1=k.a et n!+1=k.b »
Ok.
« En reportant dans l'égalité précédente : k.a=k.b-n »
Pourquoi le (n+1) passe à la trappe ? Si je reporte scrupuleusement, ça fait k.a = k.b.(n+1) - n.
« Il en découle que k divise n
Donc k divise n et n!+1 »
Mmh. Non. J'ai vraiment besoin de plus d'étapes, je ne suis vraiment assez à l'aise pour le moment. C'est vraiment des problèmes qui me mettent hors de moi, j'ai beaucoup de peine à me concentrer dessus. Je conçois qu'il n'y ait rien de compliqué, mais je n'arrive jamais à saisir ce qu'on fait d'une ligne à l'autre, c'est frustrant. Beaucoup d'efforts pour comprendre des choses triviales que je n'aurais juste pas écrit pareil (ou avec plus d'étapes).
Concernant la partie « tarabiscotée », je ne vois pas en quoi c'est trivial. Néanmoins, je pense être en mesure de comprendre la démonstration avec Bezout. Si il y a plus évident à voir, je suis preneur (sachant qu'on n'a pas encore beaucoup d'outils pour travailler).
Merci encore de cette réponse. On aura un cours formel demain. Peut-être qu'un peu de repos et de cours me permettront d'y voir plus clair et d'avoir plus de recul, mais j'en doute.
Hick_Jeck
Soit k un diviseur commun de n!+1 et (n+1)!+1. Alors k divise (n+1)(n!+1)= (n+1)!+n+1. Donc k divise la différence ((n+1)!+n+1) - ((n+1)!+1) = n. Donc k divise n (n-1)! = n!. Donc k divise la différence (n!+1)-n! = 1.
Seuls outils utilisés :
1) si k divise a, alors k divise tout multiple de a.
2) si k divise a et b, alors il divise aussi la différence a-b.
Citation :
Pourquoi le (n+1) passe à la trappe ? Si je reporte scrupuleusement, ça fait k.a = k.b.(n+1) - n.
Pourquoi le (n+1) passe à la trappe ? Si je reporte scrupuleusement, ça fait k.a = k.b.(n+1) - n.
C'est une erreur de ma part. Mais, en posant c=b.(n+1) on arrive à k.a=k.c-n et on en déduit de la même façon que k divise n.
Ensuite k est un diviseur commun à n!+1 par hypothèse et à n d'après ce qui précède.