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Niveau Maths sup
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multiple de 17

Posté par
bille
29-12-12 à 22:41

Bonsoir, J'essaie de démontrer que xn=3*52n-1+23n-2 est un multiple de 17.

J'ai écrit ceci : xn=3*25n*5-1+8n*2-2
               = 3*8n*5-1+8n*2-2  (17)
               = 8n(3*5-1+2-2) (17)

Mais Je suis bloquée, et Je ne sais pas si J4ai le droit de garder les puissances négatives

J'essaie aussi de montrer que a2+b2+c2 n'est premier que si a=b=c=1.
Le sens de la droite vers la gauche est facile car on trouve 3 qui est premier.
Mais pour montrer l'implication de gauche vers la droite, Je ne vois pas comment faire.

Je sais juste que a2+b2+c2 = (a+b+c)2-2(ab+bc+ac).
Mais Je n'ai pas d'idées.

Merci de votre aide

Posté par
rad
re : multiple de 17 29-12-12 à 23:24

Salut

Perso j'essaierais par récurrence (non testé), ça marche souvent assez bien ^^

Posté par
bille
re : multiple de 17 29-12-12 à 23:32

Je remplace simplement n par n+1 ? Mais J'ai le meme probleme en obtenant 2-1..

Posté par
verdurin
re : multiple de 17 29-12-12 à 23:39

Bonsoir,
une méthode possible pour la question 1 :
on calcule 52n-1 mod 17 : on obtient une suite périodique de  8 valeurs,
on calcule 23n-2 mod 17 : on obtient une suite périodique de  8 valeurs.
Il reste à vérifier le résultat.

Posté par
rad
re : multiple de 17 30-12-12 à 00:10

Je suppose que c'est sur *:
montrons cela par récurrence que  
3*5^(2n-1)+2^(3n-2) est un multiple de 17 c'est à dire k tel que 3*5^(2n-1)+2^(3n-2) = 17k
n=1 : on obtient 3*5+2=17 et 17 est multiple de 17 donc vraie.

rang n+1:
3*5^(2(n+1)-1)+ 2^(3(n+1)-2)
= 3*5^(2n+1) + 2^(3n+3-2)
= 3*5^(2n+1) + 2^(3n-2) *2^3
= 3*5^(2n+1) +(17k -3*5^(2n-1))*8
= 3*5^(2n+1) + 136k -24*5^(2n-1)
= 3*5^(2n+2-1) + 136k -24*5^(2n-1)
= 3*5^(2n-1)*5^2 + 136k -24*5^(2n-1)
= 75*5^(2n-1) + 136k -24*5^(2n-1)
= 5^(2n-1) (75-24)+136k
=5^(2n-1) * 51 +136k
=17(3*5^(2n-1)+8k)

d'ou la proposition au rang n+1
Sauf erreur

Posté par
bille
re : multiple de 17 30-12-12 à 11:06

Merci rad.

Est ce que si Je fais ça, ça marche aussi ?

Au rand n+1 : 3*5^(2(n+1)-1)+ 2^(3(n+1)-2) = = 3*5^(2n+1) + 2^(3n+3-2)
                    = 3*(25)n*5 + 8n * 2
                    Je réduis mod 17 : 3*8n*5 + 2*8n
Je factorise par 8n : 8n(3*5 + 2)= 8n*17 (17), et donc c'est bon ?

Posté par
bille
re : multiple de 17 30-12-12 à 11:07

Par contre, pour la question 2 Je n'ai pas d'idées

Posté par
carpediem
re : multiple de 17 30-12-12 à 11:29

salut


si a = b = 1 et c = 0 alors aa + bb + cc = 2 est premier  ..

je suppose qu'on suppose que a, b et c ne sont pas nuls

aa + bb + cc = p premier impair

alors

soit a, b et c sont impairs
soit deux sont pairs et le troisième impairs ....

en écrivant

a = 2m
b = 2n
c = 2q + 1

...


et a = b = 1 et c = 3 ? ..... alors aa + bb + cc = 11 ...

Posté par
bille
re : multiple de 17 30-12-12 à 11:38

L'énoncé dit seulement que a,b,c ne sont pas divisibles par 3..
Je ne vois pas pourquoi p serait impair.

Posté par
bille
re : multiple de 17 30-12-12 à 11:40

Non ! J'ai rien dit ! 2 est le seul premier pair !

Posté par
carpediem
re : multiple de 17 30-12-12 à 11:41

où est-ce écrit ? ...

Posté par
bille
re : multiple de 17 30-12-12 à 11:42

J'ai oublié de l'écrire en recopiant

Posté par
carpediem
re : multiple de 17 30-12-12 à 11:59

écrivons  alors

a = 3m + r
b = 3n + s
c = 3q + t

sachant que r, s et t ne sont pas nuls

et soit a, b et c sont impairs soit a et b sont pairs et c impairs ...

Posté par
bille
re : multiple de 17 30-12-12 à 12:11

J'obtiens cela :

(3n+r)2+(3m+s)2+(3p+t)2= 3 (3n2+2nr+3m2+2ms+3p2+2pt)+r2+s2+t2.

Mais après, Je dois passer mod 3 ?

Posté par
bille
re : multiple de 17 30-12-12 à 12:12

Donc si a,b,c sont impairs, on a r,s,t qui ne sont ni divisibles par 2 ni par 3 puisque 3 ne divise pas a,b,c ?

Posté par
carpediem
re : multiple de 17 30-12-12 à 12:16

r s et t valent donc 1 ou 2 ....

Posté par
bille
re : multiple de 17 30-12-12 à 12:22

Je ne vois pas pourquoi
Et meme comment remonter à a,b,c ? Parce que si r,s,t valent 1 ou 2 On a a=3n+1, b=3m+1 et c=3p+1. On n'a pas a=b=c=1.

Posté par
bille
re : multiple de 17 30-12-12 à 12:26

Ha, c'est égale à 1 ou 2 car on veut que a2+b2+c2 soit premier c'est ça ?

Posté par
carpediem
re : multiple de 17 30-12-12 à 12:31

les quotients peuvent être nuls, pas les restes ....

a = 3m + 1
b = 3n + 1
c = 3n + 1

==> aa + bb + cc  = p est multiple de 3

a = 3m + 1
b = 3n + 1
c = 3q + 2

==> aa + bb + cc = .....

Posté par
bille
re : multiple de 17 30-12-12 à 13:10

Je suis perdue... Si p est un multiple de 3, alors il n'est pas premier. Or on veut montrer qu'il est premier :0

Posté par
carpediem
re : multiple de 17 30-12-12 à 13:30

donc les trois restes ne peuvent être 1 .....modulo 3 ....

Posté par
bille
re : multiple de 17 30-12-12 à 14:12

C'est gentil, mais Je ne comprends pas.

Posté par
carpediem
re : multiple de 17 30-12-12 à 14:32

aa + bb + cc = p est premier

or a, b et c ne sont pas multiples de 3

si a, b, c = 1 [3] alors p est multiple de 3 donc ça n'est pas possible

supposons a et b congru à 1 et c congru à 2 ... que vaut p ?

sinon reste a congru à 1 et b et c congru à 2 ....

Posté par
bille
re : multiple de 17 30-12-12 à 15:09

Si a et b congru à 1 et c congru à 2, on a p congru à 6 (3) c'est à dire a 0(3)
Et si a congru à 1, et b et c à 2, on a p congru à 9 (3) c'est à dire à 0(3).
Donc dans les deux cas on a p multiple de 3 aussi.

Posté par
carpediem
re : multiple de 17 30-12-12 à 16:32

donc ça veut dire qu'il n'y a pas de solution .... sauf (1,1,1) ....

Posté par
bille
re : multiple de 17 31-12-12 à 14:25

Oui, il faut aussi traiter le cas ou a congru à 2, et idem pour c du coups

Posté par
carpediem
re : multiple de 17 31-12-12 à 16:48

oui ... faut traiter tous les cas possibles ....



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