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Niveau seconde
nombre 1er
Posté par pupuce90 (invité)
bonjour, j'ai un devoir maison est quelques questions me posent problème.
1/ 3 = 2 au carré -1 est un nombre premier
chercher un autre nombre premier sous la forme : n au carré - 1 et expliquer le résultat
2/ 5 = 2 au carré + 1
chercher un autre nombre premier sous la forme : n au carré +1
3 / un mathématicien nommé fermat pensait que les nombres de la forme 2 au carrée puis de n +1 étaient premiers. verifier le pour n = 1, 2, 3.
montrer que pour n = 5 ce nombre n'est pas premier ( pensér à 641 )
merci beaucoup
Posté par étrange (invité)J espère que ça t éclairera des notions
1) Un nombre premier est un nombre qui admet pour seuls diviseurs 1 et lui même.
p est donc un nombre premier (p un entier naturel différent de 1 ) si et seulement si il se décompose de façon unique suivante: p = p x 1
1) Ayant ceci en tête, factorisons n2 -1:
n2 - 1 = (n - 1) (n + 1)
n2 - 1 est premier si et seulement si n - 1 = 1
et n + 1 = n2 - 1
Résolvons: on obtient d'un côté n = 2 et de l'autre
n2 - n - 2 = 0, donc n = -1 à rejeter car n est un entier naturel, ou n = 2, ce qui est en accord avec la première équation.
Ainsi, pour n = 2 seulement, n2 - 1 est premier.
2)n2 + 1 est premier pour n = 1 car 2 n'est divisible que par 1 et par lui-même.
3) Je ne comprends pas ta question
Voilà
étrange
Tu as donc,
avec n=5, on a :
.
Or :
Par conséquent, ce nombre n'est pas un nombre premier.
Pour l'anecdote, c Euler qui a démontré cela si je me trompe pas. Dommage ca nus aurait arranger que tous les nombres de Fermat soient premier, car on aurait eu un alghorithme permettant de trouver ces nombres.
Ayoub.