Si est un nombre premier alors, euhhh, il faut réfléchir
Si n'est pas un nombre premier, alors ça va très vite.

Juste une question, on est bien d'accord que les crochets représentent la partie entière ?

Oui c'est bien la partie entière, j'aurai dû mettre un E au lieu des crochets.
Franchement je ne vois pas comment même si n n'est pas premier. Je ne vois pas comment me débarrasser de la partie entière pour essayer d'utiliser par exemple les critères de divisibilité

En fait, je me suis (un peu planté).
Si n est le carré d'un nombre premier, on a les mêmes problèmes que si n est un nombre premier.
Si n est composé, et n'est pas le carré d'un nombre premier, il existe p et q, tels que n=pq et 1<p<q<n-1
La fraction \frac{(n-1)!}{n} se simplifie bien, on peut supprimer la partie entière, et on peut conclure.
Dans les autres cas, je n'ai pas la solution, et comme je ne vois pas de piste immédiate, peut-être que la disjonction de cas n'aide pas.

(n-1)!/n = (n-2)! * (1-1/n) = (n-2)! - (n-2)!/n

Donc si on appelle u(k) la partie entière de (n-k)!/n, on a une relation de récurrence

u(k) = (n-1-k)! - u(k+1)

Ou encore

(-1)^ku(k) - (-1)^(k+1)u(k+1) = (-1)^k(n-1-k)!

Voilà une belle somme télescopique qui permettra d'exprimer u(k) en fonction de plein de factorielles

Bonsoir khal12


En adoptant la démarche de ty59847


si est premier le théorème (classique) de Wilson donne et donc,


...


si est non premier je te laisse montrer que puis conclure _{sauf erreur de ma part bien entendu}

Bonjour,
Bonjour  elhor_abdelali et merci beaucoup pour l'explication et l'information concernant "le théorème de wilson" que je ne connaissais pas
Oui c'est claire maintenant pour la suite si n ≥5 et pas premier; on n'a par exemple qu'à écrire n = pq tel que 1<p<q<n donc forcément p et q font partie des nombre de la factorielle (n-1)! et donc leur produit qui égale à n divise (n-1)! Cependant j'ai une question SVP; si n = p² là est ce qu'il faut expliquer ce cas comme un cas spécial (car son raisonnement n'est pas à mon avis comme le précédant  (si n ≥5)) ? ou alors est que je peux tout court généraliser pour  n ≥5  et dire n = pq tel que 1<p≤q<n ......?
Merci

Si tu sommes cela entre et , tu obtiens .

Ca nous ramène donc à devoir montrer que ,
où
semble avoir la propriété .

Peut-être qu'une récurrence utilisant ce fait, ou une étude de l'opérateur permettrait de conclure directement ?

Pardon, c'est à que je pensais

C'est un plaisir khal12

Un carré parfait supérieur ou égal à étant en fait supérieur ou égal à on a

et donc à fortiori ce qui s'écrit aussi

on voit ainsi que si on a

et donc divise _{sauf erreur bien entendu}

D'accord je crois que j'ai compris
Merci infiniment "ty59847" et "Ulmiere" et "elhor_abdelali"  pour votre aide si précieuse