Avec probablement quelques erreurs que je manque de courage à rechercher:

1)
invariants:
z' = z
(iz-2)/(z+i) = z
iz - 2 = z² + iz
z² = -2
z = +/- i.V2
Les points d'affixe +/- i.V2 sont les invariants par l'application
f.

2)
z' - i = (iz-2)/(z+i) - i
z' - i = (iz-2-iz-i²)/(z+i) = (-2+1)/(z+i) = -1/(z+i)
|z' - i| = |1/(z+i)| = 1/|z+i|
|z' - i|*|z + i| = 1

M sur le cercle de centre A(0 ; -1) et de rayon = 2

z = x + iy
avec x² + (y + 1)² = 2²
x² + y² + 2y - 3 = 0   (1)

z' = ...
Pas le courage de faire le calcul ...


3)
z'= (iz-2)/(z+i)
z = x + iy

z' = (i(x+iy) - 2)/(x+iy+i)
z' = (xi - y - 2)/(x + i(y+1))
z' = (xi - y - 2)(x - i(y+1)) /[(x + i(y+1)).(x - i(y+1))]
z' = (x²i+x(y+1) -xy + iy(y+1) - 2x + 2i(y+1)) / (x² - (y+1)²)
z' = (x²i+xy+x -xy + iy²+ iy - 2x + 2iy+2i) / (x² - (y+1)²)
z' = (x²i -x + iy²+ iy + 2iy+2i) / (x² - (y+1)²)
z' = [-x + i(x² + y²+ 3y +2)] / (x² - (y+1)²)

|z'|= [(-x)² +(x² + y²+ 3y +2)²]/|(x² - (y+1)²)|
|z'|= 1 ->
[(-x)² +(x² + y²+ 3y +2)²] = |(x² - (y+1)²)|

x² + (x² + y²+ 3y +2)² = |x² - (y+1)²|
x² + (x² + y²+ 3y +2)² = |x² - (y+1)²|

Si x² - (y+1)² c'est impossible -> x² - (y+1)² < 0
x² + (x² + y²+ 3y +2)² = -x² + (y+1)²
2x² + x^4 + y^4 + 9y² + 4 + 2x²y² + 6x²y + 4x² + 6y³ + 4y² + 6y = y²
+ 2y + 1
x^4 + y^4 + 102y² + 3 + 2x²y² + 6x²y + 6x² + 6y³  + 4y = 0
qui est sensément l'équation du lieu cherché.

Il doit probablement y avoir une erreur de calcul que je te laisse trouver...
Bon courage.


4)
a)
(z+i)²=z² + 2iz - 1

je parierais que ce qu'il faut factoriser, c'est : z² + 2iz
- 2

Si c'est le cas, ona :
z² + 2iz - 2 = z² +2iz - 1 - 1 = (z+i)² - 1 = (z + i -1)(z + i + 1)


b)
-> z = -z'
z = -(iz-2)/(z+i)
z² + iz = -iz - 2
z² + 2iz - 2 = 0
et avec la question précédente ->
(z + i -1)(z + i + 1) = 0
2 solutions:
z = 1 - i et z = -1 - i
F comprend les points d'affixe z = 1 - i et  z = -1 - i
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Malgré les erreurs, cela devrait t'aider.

A+