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Nombre complexe
Bonjour, salut à tous
Le plan complexe est repporté à un répere orthonormé direct (o,u,v). On considere le complexe u=r
où r est un réel strictement positif donné et 
= 5
/4 On définit la suite de points An tels que A0=0,A1=i
pour tout n
2, An est l'image de An-2 par la similitude directe de centre An-1, de rapport r et d'angle ,L'affixe de An sera noté Zn
1,a) pour n2, trouver une relation entre Zn,Zn-1, Zn-2
b)Montrer que pour tout n2 on'a:Zn-Zn-1=(-u)n-1i
c) trouver l'expression de Zn en fonction de u et n
2,a) Montrer qu'il existe une similitude directe s telle que A1=S(A0)et A2=S(A1).Déterminer les élements caractéristiques de S
les reponse:
1) d'apres l'enonce on'a que, Zn-Zn-1=u(Zn-2-Zn-1)
b)d'aprés la question precedente on'a que
Z2-Z1=u(Z0-Z1)
Z3-Z2=-u(Z2-Z1)
.
.
.
.
Zn-Zn-1=-u(Zn-1-Zn-2)
si on fait le produit membre à membre on trouve
(Zn-Zn-1)=u(Zo-Z1)
=(-u)n-2×u(Zo-Z1)
Zn-Zn-1=(-u)n-2×u×(Z0-Z1)
=-u×(-u)n-2×i=(-u)n-1i
c) d'aprés b, on'a
Z2-Z0=-ui
Z2-Z1=iu2
.
.
.
.
Zn-Zn-1=(-u)ni
si on fait la somme on trouve
Zn-Z0=i(-u+u2+.........+(-u)n)Zn-Z0=iZn=i(+1)
et on'a que =-u(1-(-u)n-1/1+u)=
-u+(-1)n+1(u)n/1+uZn=i(1+(-1)n+1(u)n/1+u)
peut être j'ai fais beaucoup des erreures de frappe, parce que j'ai ne pas l'habitude d'ecrire dans le forume
Pour 1)b), à partir de :
,
j'aurais posé
qui donne une suite géométrique de raison
et de premier terme
d'où
2) "Montrer qu'il existe une similitude directe ..." c'est du cours.
Pour les éléments caractéristiques,tu peux commencer par reporter les points ,
et
(par exemple pour
)
Le rapport de la similitude est
à déterminer en fonction de
.
L'angle : à déterminer aussi.
Pour le centre, on verra ensuite.
oh! pour 1)b ta methode est plus court , moi je part trés loin😄,Que devons-nous dire, pour montrer qu'il existe une similitude directe S
Un théorème dit:
Soit et
des points du plan tels que
et
.
Il existe une unique similitude directe transformant en
et
en
Ici, on a : aucun problème pour l'appliquer.
2)a) Il serait tout de même intéressant que tu nous communiques tes résultats pour :
- le rapport de la similitude directe .
- son angle.
Après il reste son centre (qui dépend de ).
On pourra éventuellement en parler ...
il existe ue unique similitude S(
,|k|,
) qui tranforme A0 en A1 et A1en A2
|k|=A2A1/A0A1=|Z2-Z1|/|Z0-Z1|=|i-i+iu|/|-i|=|u|=r
et on'a aussi que =arg(Z1-Z2/Z0-Z1)
=arg(-u)=+
C'est très bien vu mais tu peux aller un peu plus loin quant à l'angle de la similitude :
Je crois que tu as oublié que
l'affixe deTout à fait.
Reste le centre (pas vraiment facile). Je te laisse chercher un petit peu avant de revenir.
Pour le centre : exact.
J'avais pensé te montrer le côté géométrique des choses. Si tu insistes, mais seulement si tu insistes, je posterai une figure commentée.
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