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Nombre complexe

Posté par
Maesan 06-07-21 à 07:07

Bonjour et merci de m'aider
En fait,j'ai un problème au niveau de la résolution d'une équation.
Il s'agit de celle ci
z+zbar=z^5
Bon j'ai fait ceci

z+zbar=z^5=>z(z?-1)=zbar
J'ai passé les modules et j'ai simplifier module de z sacha't que c'est aussi le module de zbar,ce qui me donne une solution comme z=0
Mais mon problème est celui ci je me retrouve avec cette équation |z?-1|=1 que faire svp?
Merci

* modération> forum modifié * merci de poster en fonction du profil renseigné * on t'a déjà fait la remarque ...

Posté par
carpediemre : Nombre complexe 06-07-21 à 08:46

salut

le copier-coller sans vérification ne permet pas de tout lire correctement ...

en notant z* le conjugué de z

z + z^* = z^5 et on prend le conjugué donc z^* + z = z^*^5

par soustraction z^5 - z^*^5 = 0 \iff (z - z^*)(...) = 0 \iff ...

Posté par
matheuxmatoure : Nombre complexe 06-07-21 à 17:50

bonjour

on peut aussi remarquer que si

z+\bar{z}=z^5

alors z5 est un réel...

ce qui limite pas mal l'expression possible  pour z

Posté par
larrechre : Nombre complexe 06-07-21 à 19:19

Bonjour,

Et ce qui , à mon avis, milite pour une recherche des solutions sous la forme module-argument.

Posté par
matheuxmatoure : Nombre complexe 06-07-21 à 22:15

oui, ça simplifie bien la recherche

Posté par
Maesanre : Nombre complexe 06-07-21 à 22:25

Comment ça en fonction du profil renseigné et quel copié collé carperdiem?

Posté par
matheuxmatoure : Nombre complexe 06-07-21 à 22:30

bon, si tu essayais de faire ton exercice ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombre complexe 08-07-21 à 07:39

Juste en passant :
Les "?" intempestifs dans le premier message de Maesan ne viennent pas d'un copié-collé sans vérification.
Ils apparaissent après coup lors de la modération du message.

Posté par
carpediemre : Nombre complexe 08-07-21 à 09:17

ok merci Sylvieg

sinon après avoir remarqué que 0 est solution alors en supposant z non non nul on en arrive à \left( \dfrac z {\bar z} \right)^5 = 1

il suffit d'écrire z sous forme exponentielle ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombre complexe 08-07-21 à 09:25

Je fais un peu plus que passer :
Il a été indiqué dans les messages précédents que si z est solution alors \; z5 \; est réel.

C'est un résultat plus intéressant que \; \left( \dfrac z {\bar z} \right)^5 = 1 \; si z non nul.

Posté par
carpediemre : Nombre complexe 08-07-21 à 09:46

certes ... je l'avais évidemment vu en passant au conjugué ...

je poursuis simplement sur une résolution classique vues en math expertes ... car ma factorisation est un peu difficile à poursuivre : le premier facteur permet de considérer le cas réel mais le deuxième facteur n'est guère aisé ...

ensuite matheuxmatou nous montrera comment utiliser plus efficacement ce résultat ...

Posté par
lakere : Nombre complexe 08-07-21 à 11:31

Bonjour,

Une figure pour le fun qui ne mange pas de pain pour la suite des évènements :

Nombre complexe

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombre complexe 08-07-21 à 11:50

Bonjour lake,
Joli
Considères-tu que les zi avec i de 1 à 6 sont les solutions non nulles ?

Posté par
lakere : Nombre complexe 08-07-21 à 11:54

Bonjour Sylvieg,

Oui,oui... (J'ai fait le calcul des différents affixes)

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombre complexe 08-07-21 à 13:36

J'ai fait dans le laborieux :
Une première solution : 0
On cherche ensuite les solutions non nulles sous forme exponentielle, en utilisant z5 réel.
Si t est un argument de z, on a 5t = k avec k entier relatif. D'où t = k/5.
Ça correspond aux droites bleues de la figure de lake.

On remarque que si z est solution alors l'opposé et le conjugué de z sont aussi des solutions.
On peut donc ne chercher d'abord que les solutions avec t compris entre 0 et /2.
Ça donne trois valeurs pour t, dont l'une n'aboutit pas.

Je laisse à Maesan le plaisir d'en déduire les 6 solutions non nulles.

Posté par
matheuxmatoure : Nombre complexe 08-07-21 à 18:14

pour exploiter mon indication, adjointe à celle de Sylvieg sur le fait qu'on peut ne chercher les solutions (non nulles) dans le premier quadrant, on aboutit rapidement à z=r eik/5

avec r>0 et k{0,1,2}

en ré-injectant dans l'équation de départ on obtient

2 cos(k/5) ) = r4 cos(k)

le cas k=1 dégage assez vite par incompatibilité de signe

le cas k=0 donne r=2

le cas k=2 donne la valeur r = (2 cos(2/5)

(ce qui s'exprime sous forme de radicaux mais j'ai la flemme)

donc finalement les solutions sont

0 ; 2 ;  (2 cos(2/5) ei2/5

- 2  ; -  (2 cos(2/5) ei2/5

(2 cos(2/5) e - i2/5 ;  - (2 cos(2/5) e - i2/5

sauf erreur

Posté par
matheuxmatoure : Nombre complexe 08-07-21 à 18:15

(les exponentielles complexes n'étant évidemment pas sous la racine

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombre complexe 08-07-21 à 22:05

Citation :
Je laisse à Maesan le plaisir d'en déduire les 6 solutions non nulles.
C'est raté

Posté par
alb12re : Nombre complexe 09-07-21 à 10:41

salut,
la fin du film etant devoilee, je me permets de poster les formes algebriques des solutions. A verifier.

\\ 0\,; \pm2^{\frac14};\pm\left(\dfrac{5 \sqrt{5}-11}{32}\right)^{\frac{1}{4}}\pm i\left(\dfrac{5}{32} \left(\sqrt{5}+1\right)\right)^{\frac{1}{4}} \\

Posté par
matheuxmatoure : Nombre complexe 09-07-21 à 10:50

carpediem @ 08-07-2021 à 09:46


ensuite matheuxmatou nous montrera comment utiliser plus efficacement ce résultat ...


pardon Sylvieg... mais comme l'auteur ne répondait plus depuis 3 jours et , dans sa dernière intervention, semblait plus préoccupé par la forme que le fond, je me suis permis de finir notre raisonnement commun

Posté par
lakere : Nombre complexe 09-07-21 à 18:52

Bonsoir,

Je ne voulais pas en rajouter mais je tiens tout de même à corriger :

   Affixe au sens mathématique  du terme est du genre féminin :

    

Citation :
(J'ai fait le calcul des différentes affixes)


  Et mes "calculs" n'avaient pas grand chose à voir avec ma figure un peu olé olé...

>>alb12 :
    
    
Citation :
À vérifier.


Je confirme.

  

Posté par
alb12re : Nombre complexe 09-07-21 à 20:44

ok merci
Paradoxalement ce probleme facile à resoudre avec papier/crayon donne un peu plus de fil à retordre à un logiciel de calcul formel.
Avec Xcas pour Firefox , zoomer plusieurs fois sur le graphe et effacer la console.
Meme le grand Wolfram ne simplifie pas les ordonnees (cliquer sur More solutions)

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombre complexe 10-07-21 à 06:54

matheuxmatou @ 09-07-2021 à 10:50

carpediem @ 08-07-2021 à 09:46


ensuite matheuxmatou nous montrera comment utiliser plus efficacement ce résultat ...


pardon Sylvieg... mais comme l'auteur ne répondait plus depuis 3 jours et , dans sa dernière intervention, semblait plus préoccupé par la forme que le fond, je me suis permis de finir notre raisonnement commun

OK, j'avais oublié la demande de carpediem

Posté par
lakere : Nombre complexe 10-07-21 à 15:51

Bonjour,

Juste un petit commentaire sur la figure de 11h31 :

Le lieu des points M tels que MA.MB.MA'.MB'=1 a pour équation polaire (après quelques calculs) \rho =\sqrt[4]{2\,\cos\,4\theta}

Avec \theta=\dfrac{k\pi}{5}, on obtient quasiment immédiatement les 6 solutions non nulles.

Posté par
matheuxmatoure : Nombre complexe 10-07-21 à 17:57

effectivement, j'avais vérifié mes résultats avec ta superbe figure lake

Posté par
lakere : Nombre complexe 10-07-21 à 17:59

Bonsoir matheuxmatou,

Oui, mais il y a un bémol :
On n'échappe pas à une réciproque

Posté par
matheuxmatoure : Nombre complexe 10-07-21 à 18:13

ben oui c'est bizarre, moi j'obtiens du cos(2/5) et pas 4/5

Posté par
lakere : Nombre complexe 10-07-21 à 18:19

Sans aucune vérification, je pense qu'avec les nombreuses symétries, ça revient au même.
Une chose est sûre : j'ai bien vérifié (plutôt deux fois qu'une!) l'équation polaire de la courbe; je n'ai aucun doute la dessus.

Posté par
matheuxmatoure : Nombre complexe 10-07-21 à 18:20

et d'ailleurs le cos(4/5) est négatif... y'a un problème non ?

Posté par
matheuxmatoure : Nombre complexe 10-07-21 à 18:27

et au fait... je n'ai pas capté d'où vient cette histoire de MA.MB.MA'.MB' = 1

Posté par
lakere : Nombre complexe 10-07-21 à 18:32

Un problème, je ne crois pas :

  Si k=4, \theta=\dfrac{4\pi}{5} et le cosinus est effectivement négatif.

Et alors ? Si on regarde la figure, on voit bien que la droite \theta=\dfrac{4\pi}{5}\,\;[\pi] n'a pas d'intersection non nulle avec la courbe.

Non ?

Posté par
lakere : Nombre complexe 10-07-21 à 18:35

Citation :
et au fait... je n'ai pas capté d'où vient cette histoire de MA.MB.MA'.MB' = 1


  z^5=z+\bar{z}

  z^5-z=\bar{z}

  z(z-1)(z+1)(z-i)(z+i)=\bar{z}

On passe aux modules pour z\not=0

Posté par
matheuxmatoure : Nombre complexe 10-07-21 à 18:47

ah oui d'accord...

pour la racine quatrième c'est moi qui ai lu un peu vite... je croyais que tu parlais des modules des solutions... pas vu que que c'était l'équation polaire... j'ai rien dit !

Posté par
matheuxmatoure : Nombre complexe 10-07-21 à 18:48

effectivement, dans ton cas on n'a que des implications... mais j'ai quand même pu vérifier ce que je trouvais au final

Posté par
lakere : Nombre complexe 10-07-21 à 18:52

Citation :
dans ton cas on n'a que des implications...


C'est le bémol que je voulais souligner.
Par un heureux hasard, il se trouve qu'il y a équivalence.
Je suis incapable de le prouver

Posté par
matheuxmatoure : Nombre complexe 10-07-21 à 18:53

ça fait rien, l'approche et le dessin sont jolis

Posté par
lakere : Nombre complexe 10-07-21 à 18:56

En général, dès que je poste une figure, l'esthétique me motive.
Bonne soirée matheuxmatou

Posté par
lakere : Nombre complexe 12-07-21 à 16:44

Bonjour,

Vous voudrez bien n'excuser de revenir sur ce fil.
Dans un premier temps, j'ai utilisé le module de calcul formel de GeoGebra pour obtenir la courbe.
Vu son allure, j'ai persévéré pour obtenir par le calcul son équation polaire.
Bien sur, on est un peu au delà du niveau lycée mais je suis persuadé que GeoGebra est sous exploité dans le secondaire.
En résumé : GeoGebra est un formidable outil

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombre complexe 12-07-21 à 22:37

Bonsoir lake,
Ce fil est intéressant. Pas besoin de t'excuser
Pas mal occupée par ailleurs en ce moment, je n'ai pas le temps d'approfondir le bémol de la réciproque ; mais j'ai pensé que regarder ce qui se passe avec d'autres exposants que 5 pouvait peut-être éclairer.
Par exemple avec 3, 4, 6 ou 7.

Posté par
lakere : Nombre complexe 13-07-21 à 11:24

Bonjour Sylvieg,

De toute manière, dès qu'on écrit :

  

Citation :
alors z5 est un réel...


  en toute logique, une réciproque est nécessaire.
Bien sûr, on peut vérifier que les solutions trouvées sont bien solutions de l'équation de départ.
Citation :

  mais j'ai pensé que regarder ce qui se passe avec d'autres exposants que 5 pouvait peut-être éclairer.


  Je ne voulais pas arriver les mains vides; z^n=z+\bar{z} pour n de 2 à 8 :

  Nombre complexe

Posté par
matheuxmatoure : Nombre complexe 13-07-21 à 13:23

oui, effectivement, quand je disais "donc z5" est réel, ce n'était qu'une méthode d'analyse.

Ce qui suivait (le 8 à 18:14) était la synthèse de la chose qui permettait de tomber sur les solutions

Posté par
lakere : Nombre complexe 13-07-21 à 20:47

Bonsoir matheuxmatou,

Je ne suis pas totalement convaincu. On est en terminale. Je pense qu'il est sain  de souligner le problème logique ; implication nécessite une réciproque.
Mais que dire de l'intervention de caroediem ici :

  

Citation :
z + z^* = z^5 et on prend le conjugué donc z^* + z = z^*^5

par soustraction z^5 - z^*^5 = 0 \iff (z - z^*)(...) = 0 \iff ...


  qui camoufle une implication en la poussant sous le tapis sous le vocable "soustraction" et poursuit avec des équivalences ?
D'un point de vue didactique en terminale, je pense que c'est une erreur.
   On commence par une implication : on poursuit par des implications.

Posté par
matheuxmatoure : Nombre complexe 13-07-21 à 22:38

lake

dans un premier temps je remarque qu'une solution est nécessairement réelle pour z5.

j'en déduis que z a nécessairement une certaine forme r.eik/5 avec k entier

la remarque de Sylvieg permet de réduire le champ d'étude et d'en déduire les autres

à partir de cela commence la réciproque en ré-injectant les complexes de cette forme dans l'équation originelle et de trouver ceux qui fonctionnent vraiment.

je ne vois pas où est le problème

Posté par
alb12re : Nombre complexe 14-07-21 à 10:12

recherche des solutions non nulles
si z est solution alors -z et conj(z) sont solutions
On pose z=r*exp(i*t) avec r>0 et 0<=t<=pi/2

les propositions suivantes sont equivalentes:
z+conj(z)=z^5 et 0<=t<=pi/2
2r*cos(t)=r^5 et 5t=2k*pi et (k=0 ou k=1)
r=(2*cos(t))^(1/4) et t=2k*pi/5 et (k=0 ou k=1)
z=(2*cos(2k*pi/5))^(1/4)*exp(2i*k*pi/5) et (k=0 ou k=1)

Les solutions non nulles sont donc z=(+ ou -)*(2*cos(2k*pi/5))^(1/4)*exp((+ ou -)2i*k*pi/5) avec k=0 ou k=1

Par une demo analogue on montre que les solutions non nulles de z+conj(z)=z^n avec n impair sont:

\\ \pm\left(2\cos\left(\dfrac{2k\pi}{n}\right)\right)^\frac{1}{n-1}\times \exp\left(\pm\dfrac{2ik\pi}{n}\right)$ avec $k$ entier entre $0$ et $E\left(\dfrac n4\right) \\

verification avec n=11 et

c'est surement bourré de coquilles que le lecteur pourra corriger

reste ensuite à rediger une demo pour n pair

Posté par
lakere : Nombre complexe 14-07-21 à 10:35

Oui, je suis d'accord; pas de problème matheuxmatou

De mon côté, je voulais prouver l'équivalence :

  z^5=z+\bar{z}\Longleftrightarrow \begin{cases}z^5\text{ réel}\\\text{   et}\\|z-1|.|z+1|.|z-i|.|z+i|=1\end{cases}

Je viens d'y parvenir sans grosses difficultés

Posté par
Maesanre : Nombre complexe 18-07-21 à 08:43

Bonjour Mr Lake je comprends le système mais en quoi ça pourrait aider?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Nombre complexe 18-07-21 à 09:02

Bonjour Maesan,
Vu ton absence de réaction, nous avons échangé entre aidants sur ton exercice, en le généralisant et l'illustrant.
Pour traiter ton exercice, tu peux utiliser mon message du 8 à 13h36.

Citation :
Je laisse à Maesan le plaisir d'en déduire les 6 solutions non nulles.


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