Bonjour,
Je tente une explication avec un cas numérique : p = 4 et n = 8 .
A chaque fonction f croissante de [1,4] vers [1,8], on peut faire correspondre un mot avec les entiers de [1,8] écrit dans l'ordre, où l'on insère quatre lettres f , pour définir chaque f(i) .
Traduction du mot 1 2 f₁ 3 4 5 f₂ f₃ 6 f₄ 7 8 :
f(1) = 2 , f(2) = 5 , f(3) = 5 et f(4) = 6 .
On peut simplifier l'écriture de ce mot de 12 lettres : c c f c c c f f c f c c .
Un tel mot est de la forme L L L L L L L L L L L L où les L sont des lettres c ou f , sauf le premier L qui est toujours un c , car f(1) 1 .
Choisir une fonction croissante de de [1,4] vers [1,8] revient à choisir la place des f parmi 11 places.
Autre exemple de mot qui commence par un c suivi de 11 lettres où on place 4 lettres f : c f c f c c f c c c f c .
Première traduction : 1 f 2 f 3 4 f 5 6 7 f 8
D'où : f(1) = 1 , f(2) = 2 , f(3) = 4 et f(4) = 7 .

Généralisation : Ecrire des mots de n+p lettres avec un c en premier, p lettres f , et des c ailleurs.
Choisir p places parmi les n+p-1 places qui ne sont pas la première.

Bonjour Lupa99.

La démonstration étant assez longue en soi, je t'en donne le plan général :

A- On considère d'abord les applications strictement croissantes de [1,p] dans [1,n].
1- On montre (assez facilement) qu'une telle application est injective (donc p n est obligatoire)
2- L'image de [1,p] est {f(1), ... , f(p)} qui est donc une partie à p éléments de [1,n]. Etant donnée donc une partie B à p éléments de [1,n], il existe une unique application strictement croissante de [1,p] dans B. Il y a donc bijection entre les applications strictement croissantes de [1,p] dans [1,n] et les parties à p éléments de [1,n] c'est à dire C(n,p).

B- On considère maintenant les applications croissantes de [1,p] dans [1,n] : cette fois n et p sont quelconques.
1- Soit f une telle application. On considère g(x) = f(x) + x - 1 (ça fait un peu "fonction sortie du chapeau") et on montre qu'elle est strictement croissante de [1,p] dans [1,n+p-1].

Voilà ensuite un point un peu long :
Soit A = l'ensemble des applications croissantes de [1,p] dans [1,n]
Soit B = l'ensemble des applications strictement croissantes de [1,p] dans [1,n+p-1]
Soit F l'application de A dans B telle que F(f)(x) = g(x) = f(x) + x - 1. F est bien définie.
Soit M l'application de B dans A telle que M(g)(x) = f(x) = g(x) - x + 1.

F et M sont des bijections inverses l'une de l'autre. Donc A et B ont le même cardinal. Or on a vu que Card(B) = C(n+p-1,p).

Merci beaucoup, je comprend mieux. Mais je trouve ça quand même difficile de trouver les idées en dénombrement...

Oui, c'est difficile !
La difficulté souvent est de trouver un "codage" de ce que l'on cherche à dénombrer.
Et il peut y avoir plusieurs méthodes très différentes pour un même exercice.
L'autre problème est que les énoncé ne sont pas toujours d'une précision suffisante.
Il y a parfois des sous entendus.
C'est en pratiquant que l'on progresse...