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Niveau Reprise d'études
Nombre d'applications d'un ensemble fini dans un ensemble fini
Posté par Autodidacte33
Bonjour,
Je bloque sur la démonstration de la proposition suivante:
Citation :
Démonstration:
Supposons que
 & \longrightarrow& F^{p}\\ & f & \mapsto & (f(x_1),\cdots, f(x_p))\end{array} )
est bijective, en effet:
Soit \in F^{p})
, alors il existe une unique application 
de 
dans 
telle que: ![\blue \forall k\in [|1,p|] \text{ : } f(x_k)=a_k](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\blue \forall k\in [|1,p|] \text{ : } f(x_k)=a_k)
On en déduit que\vert=\vert {F^p}\vert=n^{p}=\vert F \vert ^{\vert {E}\vert})
Citation :
Soient E et F deux ensembles fini de cardinaux respactifs
et 
. On note )
l'ensemble des applications de 
dans 
.
On a alors:\vert=\vert {F}\vert^{\vert {E}\vert}=n^{p})
Soient E et F deux ensembles fini de cardinaux respactifs
On a alors:
Démonstration:
Supposons que
Soit
On en déduit que
Voilà, c'est la partie en bleu qui pose problème: Pouvez-vous s'il vous plaît m'expliquer pourquoi l'application
Merci d'avance!
Bonjour Autodidacte33.
L'unicité est le plus simple à comprendre.
S'il en existe deux, notées f et g, alors pour l'un des on aurait
. donc l'une des deux ne prendrait pas la valeur
en
.
C'est l'existence qui est un poil moins triviale.
Bonsoir jsvdb,
Oui, je crois que je vois ce que tu veux dire, j'ai bien compris l'unicité, cela revient à démontrer que est injective:
Citation :
Montrons que est injective:
Soient \text{ telles ques }\theta (f)=\theta (g) )
;\cdots, f(x_p))=(g(x_1);\cdots, g(x_p)))
Cela s'exprime aussi:![\forall k\in [|1,p|] \text{ : } f(x_k)=g(x_k)](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\forall k\in [|1,p|] \text{ : } f(x_k)=g(x_k))
Donc
est donc injective
Montrons que
Soient
Cela s'exprime aussi:
Donc
Est-ce correcte?
Concernant l'existance, cela revient à démontrer la surjectivité... C'est bien ça?
Je vais chercher un peu...
Oui, pour l'injectivité c'est ça.
Pour l'existence, oui, c'est la surjectivité de . J'ai dit que c'était un poil moins trivial, mais en fait, si, c'est trivial.
Bonjour,
J'avoue que j'ai du mal à comprendre l'application . Je crois que c'est à cause de l'ensemble de départ qui est l'ensemble des applications de
vers
...
Ma recherche concernant la surjectivité de donne:
Citation :
Soit\in F^{p} )
Est-ce -qu'il existe \text{ / } \theta(f)=(y_1,\cdots, y_p))
?
Puisque=(f(x_1),\cdots, f(x_p)))
Trouvons)
vérifiant ,\cdots, f(x_p))=(y_1,\cdots, y_p))
Une telle qpplication existe. En effet, si on pose:
![\begin{array}{rccl}\forall i\in[|1,p|] \text{ : } f:&E & \longrightarrow& F\\ & x_i& \mapsto & y_i \end{array}](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\begin{array}{rccl}\forall i\in[|1,p|] \text{ : } f:&E & \longrightarrow& F\\ & x_i& \mapsto & y_i \end{array} )
On obtient le résultat.
Donc est surjective
Soit
Est-ce -qu'il existe
Puisque
Trouvons
Une telle qpplication existe. En effet, si on pose:
On obtient le résultat.
Donc
Merci de me vérifier
Ok merci bien
Mais je me demande quand même: Ne doit-on pas avoir surjective pour que
le soit aussi?
Si n'est pas surjective, il se peut qu'il existe
qui n'aurait pas d'antécédant dans
(Avec
).
N'est-ce-pas?
Non !!
L'application met en relation
avec
. Et ce de la manière suivante :
On pose comme étant l'élément de
qui est
: ceci est parfaitement défini pour tout
, et pas seulement sur celle qui sont surjectives.
Eg : si est une fonction constante, donc forcément pas surjective (sauf si
ou
), alors il existe
telle que
. Eh bien on aura
Merci!
Je crois que j'ai compris
Donc juste le fait qu'on peut toujours construire une application de
dans
qui vérifie
est suffisant pour que
soit surjective, peu importe la surjectivité ou l'injectivité de
Oui, c'est ça la surjectivité : à partir de la donnée d'un élément de , tu es capable de trouver une application
telle que