Les ensembles  à  q éléments  qui sont  en disjonction avec un ensemble  à  p éléments  sont les ensembles  dont les q éléments  sont  choisis  parmis les (n-p)  éléments  de E et il sont  au nombre  de  C(n-p,q) .

Bonjour,
as-tu quelque chose contre l'ensemble vide et E ?

Avec l'énoncé que tu donnes les couples (E,) et (,E) conviennent.

D'autre part je ne vois pas d'où vient la multiplication par 2.

Je dirais

Je n'ai pas compté  le  vide,  et Et lui-meme car ils contient  tous  les parties.

Comme on dit les couples je crois  que (X, Y)  et (Y, X)  sont différents.

J'ai eu une idée pour 2)

N=

C'est bon ?

Sauf si c'est précisé dans l'énoncé, il faut compter l'ensemble vide.

En ce qui concerne le fait que (X,Y) et (Y,X) sont différents, il faut voir qu'ils sont tous les deux compté dans ta somme, avant que tu ne multiplies par 2.

Pour prendre un exemple très simple E={a,b}
On classe les parties de E par taille
,{a},{b},{a,b}
À chaque partie on associe son complémentaire et on donne la liste des sous-ensembles du complémentaire.
On obtient les couples
(,) ; (,{a}) ; (,{b}) ; (,{a,b})
({a},) ; ({a},{b})
({b},) ; ({b},{a})
({a,b},)

Ici on voit bien que l'on obtient les couples ({a},{b}) et ({b},{a}).
Or la somme fonctionne sur ce mécanisme.

Je vois maintenant.

Et pour la 2) ?

Nos messages se sont croisés.

Pour la 2) as-tu une justification ?
Si oui c'est bon si non c'est mauvais.

Personnellement je remarque qu'un couple (X,Y) de parties de E tel que XY={a} correspond de façon unique à un couple (X',Y') de parties de E\{a} tel que X'Y'=.

Ce qui permet d'utiliser le résultat de la question 1).

Voici  ma justification.

Soit X une partie à  p éléments  et Y une partie  à  q éléments  tels que alors les éléments  de Y sont choisi parmi  les n-(p-1)=n-p+1.

verdurin @ 01-07-2018 à 12:37


Personnellement je remarque qu'un couple (X,Y) de parties de E tel que XY={a} correspond de façon unique à un couple (X',Y') de parties de E\{a} tel que X'Y'=.

Ce qui permet d'utiliser le résultat de la question 1).

Je ne trouve pas la justification très convaincante.

Et, oui, je parle de bijection.

Pour compter des objets, il est judicieux de bien les ranger.
L'idée ici est de classer les couples suivant le singleton qui forme leur intersection, on obtient bien une partition de l'ensemble de ces couples.
Puis on remarque que chaque classe est en bijection avec les couples d'intersection vide d'un certain ensemble.

L'ensemble  des ensembles dont l'intersection  est le {a} est une classe.cette classe est en bijection  avec les couples de quel ensemble ?  Je ne vois pas très  bien.

L'ensemble des  parties  de E au lieu de l'ensemble  des ensembles.

salut

on obtient assez facilement 2/ à partir de 1/ si on remarque que à tout couple de parties X et Y distinctes alors l'intersection de X et Y est un singleton en ajoutant un élément quelconque de X à Y ...

J'ai compris  . Ça correspond  à mon n-(p-1)=n-p+1 ?

Bonjour

Non parce que vous perdez de l'information en ne faisant qu'abaisser le cardinal de l'ensemble de choix. Vous perdez en particulier le nombre de choix possibles pour le singleton…

En suivant l'indication de carpediem qui permet de plier l'exercice, il vous suffit de tenir compte de ce choix : vous formez X comme lors de la Q1), puis vous choisissez un e1 dans X que vous mettez dans Y, puis vous formez Y, toujours en faisant une partie de E\X (car alors X\{e1} et Y doivent être disjoints).

Bonjour,
J'arrive après la bataille pour la question 1) ; mais je voudrais savoir si mon raisonnement est correct :
A étant une partie de E de cardinal p , on peut définir C le complémentaire de A dans E .
Le couple (A,B) est un couple de parties disjointes de E si et seulement si la partie B est incluse dans C .
Il y a 2^n-p parties B incluses dans C .

D'où

Salut Sylvieg.
Je crois qu'il est correct, c'est celui que j'ai fait et c'est une simplification directe de celui de toureissa.

Je vote pour correct aussi.

Merci
Pour 2), peut-on dire que l'on peut choisir d'abord l'élément x qui formera le singleton , puis des parties disjointes de E\{x} ?
Si le résultat de 1) est S_n , le résultat de 2) serait nS_n-1 .

Oui aussi, l'ordre de choix n'intervient pas ici

Pour le 1) sans calculs :
On voit (et on le prouve facilement) qu'il y a une bijection entre l'ensemble des solutions et l'ensemble des fonctions de E dans {0,1,2} . A (A,B) , on associe la fonction qui vaut 1 sur A, 0 sur B et 2 ailleurs , ce qui donne le résultat immédiatement ...

Bonsoir à  tous !

Je pense que j'ai compris  ce que dit Sylvieg ,
Le nombre   de parties  dont leurs intersections  est {x} est égal  au nombre  de parties  disjointes  de E\{x} (par ce que si on enlève  x dans tous ces parties  on trouve des disjonctions)

E\{x} est de cardinal  n-1 et aussi il ya  n singleton  donc
Où  S2 est la deuxième  somme.

Est-ce que  j'ai compris  ?

Oui

Merci à  vous  tous.
Je vous souhaite une bonne journée !