Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Nombre dérivé et limite de fonction
Bonjour,
J'ai un devoir maison de mathématiques à faire pour lundi dans lequel j'ai assez avancé mais je bloque à une certaine question qui traite du nombre dérivé et de la limite d'une fonction. Je voudrais savoir si quelqu'un pourrait m'aider.
J'ai tout fait jusque 3.b) question à laquelle je bloque
Je réécris le début du problème.
Enoncé :
L'objet du problème est de montrer que la suite de terme général :
Un = 1/1² + 1/2² + .... + 1/n²
converge et de trouver sa limite.
1.a) Calculer J = int(0 à 
) [ (t²/2) - t)]dt
Je trouve ici -²/3
b) On pose pour tout k entier naturel supérieur ou égal à 1
K = int(0 à pi)[(t²/2pi) - t]cos(kt) dt
Il faut prouver par deux intégrations par partie que K = 1/k² ce que j'ai réussi à faire.
c) On appelle "noyau de Dirichlet" la fonction définie pour tout t appartenant à [0;pi] et pour tout n appartenant à N* par :
Dn(t) = 1/2 + cos(t) + cos(2t) + ... + cos(nt)
Montrer que : Un = pi²/6 + int(0 à pi) [(t²/2pi) - t]Dn(t)dt
On note alors : In = int(0 à pi) [(t²/2pi) - t]Dn(t)dt
J'ai réussi cette question.
2.a)
Vérifier pour tout a et b réels que :
2sin(b)cos(a) = sin(a+b) - sin(a-b)
J'ai réussi grâce aux formules trigonométriques.
b.) En déduire par récurrence que : pour tout t appartenant à [0; pi] et pour tout n de N* :
Dn(t) = sin[(n+(1/2))t] / (2sin(t/2))
J'y arrive (L'initialisation de la récurrence est donnée sur l'énoncé.)
c.) Soit g la fonction définie sur [0; pi] par
g(0) = -1 et g(t) = [(t²/2pi) - t]/(2sin(t/2)) avec t
0
en utilisant la limite du cours : lim(t->0) de : sin(t)/t = 1
montrer que g est continue en 0.
J'y arrive en vérifiant que la limite en 0 de g(t) = g(0)
d) Montrer que pour tout n de N* :
In = int(0 à pi) g(t)*sin[(n+(1/2))t] dt
J'ai réussi.
3.a) Montrer que g est dérivable sur ]0; pi] et calculer g'
Jusqu'ici ça va je trouve g'(t) = [ ((t/pi) -1) (2sin(t/2)) - (cos(t/2)) ((t²/2pi)-t) ] / (4sin²(t/2))
b) Montrer que g est dérivable en 0 .
On calculera : lim(t->0) de : [(g(t) -g(0))/t] pour obtenir g'(0)
(On utilisera : lim(t->0) de : (sin(t/2))/(t/2) = 1)
La je n'y arrive plus... je suis presque sur en vérifiant à la calculatrice que la limite vaut 1/(2pi) mais je n'arrive pas à la calculer pour me donner g'(0)
c) Montrer que lim(t->0) de g'(t) = g'(0) grâce aux résultats précédents
Donc g' est continue sur [0; pi]
Je n'arrive pas non plus à calculer la limite en 0 de g'(t)...
Je suis donc bloqué à cet endroit du problème et n'arrive plus à avancer...
Merci de votre aide !
Bonsoir,
3b) g(0)=-1
Dans le dernier membre le 1er terme tend bien vers et le second terme (entre les parenthèses) tend bien vers 0
Merci beaucoup pour votre réponse.
Je n'ai pas besoin de prouver que le second terme tend vers 0 ?
Je réessaie pour la 3c), la limite en 0 de g'
Bonsoir,
Je pense que :
si on admet que sin(x)/x tend vers 1 quand x tend vers 0, on admet que sin(x) est équivalent à x, donc 1/sin(x) équivalent à 1/x .
Pour démontrer que le second terme entre parenthèses tend vers 0... ce n'est pas évident..
Il faut appliquer deux fois la règle de l'Hopital .. A moins qu'il existe une meilleure solution....
Pour la limite de g', il faut aussi appliquer deux fois l'Hopital et on trouve bien 1/(2)
Bonsoir à tous,
Merci beaucoup pour vos réponses, malheureusement je ne connais pas la règle de l'Hopital... devrais-je ?
Pensez vous que je pourrais la trouver énoncée clairement sur internet ? Ou bien peut-être que vous pourriez me la résumer ici...
Visiblement je n'ai pas d'autre choix que de la mettre dans ma copie si je veux fournir une bonne réponse.
Merci
Pour moi, il n'y a d'autres possibilités ...
Utilise la première généralisation..
Bon courage ..Il y a des calculs (moi j'ai posé T=t/2 pour les alléger)..
D'accord merci
J'ai réussi à utiliser la première généralisation pour g'(0)
Je m'attaque au gros morceau...
Bravo !!
Pour les deux questions où tu es bloqué, il faut l'appliquer 2 fois pour lever l'indétermination 0/0..
D'accord merci beaucoup. Je dois le faire dès le départ ?
Sinon pensez-vous qu'il m'est possible d'arriver à l'étape à partir de laquelle il faut le faire ?
J'hésite à développer g'(t) mais je me dis que je ne m'en sortirai plus par la suite...
- Pour la dérivabilité , il faut appliquer 2 fois la règle de l'Hopital à l'expression entre parenthèses de vham..
- Pour la limite de g'(t), il faut l'appliquer 2 fois aussi mais à l'ensemble de l'expression de g'..
Enfin, c'est comme çà que j'ai fait..
Dans les deux cas on trouve 1/(2pi)..
J'avais réussi la dérivabilité
Pour g'(t) j'ai réussi mais ayant séparé g'(t) en deux termes constituant une différence je n'ai eu à appliquer l'Hopital à gauche qu'une fois et par contre bien deux fois à droite
Merci beaucoup
Bonsoir,
Si je développe tous les termes de g'(t) en posant cos(t/2) tend vers 1 quand t tend vers 0
et sin(t/2) équivalent à t/2 :
g'(t) tend bien vers 1/2 et ce développement me parait correct.
J'ai au final réussi mais je n'ai pas eu à dériver 2 fois...
J'hésite entre utiliser le raisonnement de vham ou l'Hopital sur ma copie (moi qui n'avait aucune issue me voilà avec l'embarras du choix)
Je posterai les questions suivantes si je n'y parviens pas
J'ai réussi la question suivante mais je bloque par la suite
4.a)
Bn = int(0 à pi) g'(t)* [ [cos(n+(1/2))t] / (n+(1/2)) ]dt
Montrer que In = (-1)/(n + 0,5) + Bn
J'ai réussi grâce à une intégration par partie
puis on me demande
4.b) Pourquoi g' est elle bornée sur [0;pi] ?
en déduire que la limite quand n tend vers +infini de Bn = 0
et que la limite quand n tend vers +infini de In = 0
La je n'arrive pas à prouver que g' est bornée...
Merci
g'(t) est bornée sur l'intervalle fermé [0,pi] car elle définie et continue sur cet intervalle.
Donc 
x0
[0;], g'(x0) ne tend pas vers 
car sinon elle ne serait pas définie sur cet intervalle fini.
Pour la limite de Bn
J'arrive à prouver que en +infini : g'(t)* [ cos[n+(1/2)]t / (n+((1/2)) ]
converge vers 0 mais est-ce que ça me suffit pour que l'intégrale de 0 à pi de ceci converge aussi vers 0. (C'est à dire Bn) ?
g'(t) est bornée sur l'intervalle fermé [0,pi] car elle définie et continue sur cet intervalle.
Donc
x0[0;], g'(x0) ne tend pas vers car sinon elle ne serait pas définie sur cet intervalle fini.Merci beaucoup !
Je suis parti du principe que ça me suffisait, j'ai donc réussi à prouver la limite de Bn, puis de In, puis de Un
On me demande si la convergence de Un semble rapide... Je suis un peu perplexe devant cette question car je ne sais ni quoi répondre ni comment trouver de quoi répondre
On a :
L= 2/6
1.6449
U1=1 soit L-U10.6449
U5=1.4636 soit L-U50.1813
U10=1.5498 soit L-U100.0952
U20=1.5962 soit L-U200.0488
U30=1.6122 soit L-U300.0328
U40=1.6202 soit L-U400.0247
U50=1.6251soit L-U500.0198
La convergence semble donc plutôt lente ...
Bonsoir,
On me demande si la convergence de Un semble rapide... Je suis un peu perplexe devant cette question car je ne sais ni quoi répondre ni comment trouver de quoi répondre
en général on répond au vu des calculs effectués :
très rapide car de type exponentielle
rapide car de type linéaire
lente car de type logarithmique...
Annuler
connectez vous