Bonjour,
avec les suite géométrique. On note
.

Ainsi,

.

Or

J'espère que c'est plus clair

non je suis désolée je ne comprend pas ton résonnement

Bonjour,

il s'agit de démontrer que 1,00000.... et 0,9999.... sont deux écritures du même nombre qui est 1 tout court

les "..." sont importants, ils signifient que l'on prolonge "indéfiniment" la suite de 9

en d'autre termes que l'on cherche la limite de
0,9999999...99 avec n chiffres 9 quand n tend vers l'infini

c'est ça la vraie valeur de 0,999... avec "une infinité" (sic) de chiffres 9

mais "une infinité de chiffres" ça n'existe pas, c'est par définition la limite du nombre lorsque son nombre de chiffres tend vers l'infini


de la même façon que le nombre 0,3333... représente "une infinité" de chiffres 3
et que sa vraie valeur c'est la limite de 0,333...33 avec n chiffres 3, lorsque n tend vers l'infini

et dans ce cas on calcule que ça fait 1/3 exactement
ici il faut donc démontrer que la limite de 0,9999...9 est 1/1 exactement (ou tout simplement 1)

maintenant démontrer ça en seconde ...
la bonne méthode est de considérer des suites géométriques (de raison 1/10) et de l'utiliser pour exprimer avec des n la valeur exacte de 0,99...99 avec n chiffres 9, à partir de la définition même de "représentation d'un nombre dans le système décimal"
puis de faire tendre n vers l'infini

mais "limites" et "suites géométriques" en seconde ?

une entourloupette consiste à dire que ce nombre existe (en fait on n'en sait rien, peut être que 0,9999... n'a simplement aucun sens) et on l'appelle N

N = 0,9999...

si je multiplie N par 10 j'obtiens 10N = 9,9999... = 9 + 0,9999... = 9 + N

ce qui est une équation en N que l'on résout

on en déduit la conclusion de seconde :
si l'écriture 0,9999... a un sens (représente un nombre qui existe), alors ce nombre vaut 1

juste une derniere question
je ne comprend pas pourquoi
                                    1
                        -------------------------
                                         n-1
                                 10

pourquoi multiplier N par 10

pourquoi pas ? c'est une astuce de calcul
parce que on est dans le système décimal et que on sait depuis l'école primaire que multiplier un nombre décimal par 10 revient à décaler la virgule d'un cran.


de la même façon que "pourquoi mettre 1/10 en facteur" dans le calcul de PbMath

je sais que multiplier par 10 reviens à décaler la virgule d'un cran
je suis désolée je me suis mal exprimée
je ne comprend pas se qui suit: 9+N
et si N à un sens

es ce que l'équation à résoudre est:

9+N=1

on a posé N = 0,9999...

9,99999.... = 9 + 0,9999... = 9 + N est pourtant évident

et "si N a un sens" c'est parce que ce raisonnement là est une entourloupette :
j'ai posé au départ que le nombre N est égal à "0,999..." sans même savoir si un tel nombre existait, si une telle écriture avait seulement un sens.
parce qu'il représente "une infinité de chiffres" et que "une infinité de .." ça ne veut rien dire.
donc SI ce nombre existe réellement alors ... (raisonnement et conclusion)

le vrai raisonnement est celui avec une définition précise de l'écriture "0,999..." et les limites, donné par PbMath et que j'avais mentionné :

ne t'énerve pas
comme tu la dit c'est du niveau première et je ne suis qu'en seconde donc c'est normal que je ne comprenne pas tout de suite
mais je te remercie beaucoup
je croix que j'ai compris grâce à toi
une longueur d'avance pris pour l'année prochaine

c'est le raisonnement avec les limites qui est du niveau première

le raisonnement simplifié "avec l'entourloupette" est du niveau seconde
l'entourloupette étant "on admet que cette écriture a un sens et représente un certain nombre réel qui existe"
on peut s'affranchir de cette entourloupette en l'écrivant explicitement dans l'énoncé, qui à ce niveau aurait donc dû être

on admet que l'écriture N = 0,99999... obtenu en répétant les 9 "à l'infini", a un sens et représente un nombre réel,
montrer que N = 1