Bonjour,
Pouvez vous m'aidez svp

On propose une autre démonstration de l'irrationalité de √
2 en utilisant un raisonnement
géométrique. Pour cela, on raisonne par l'absurde en supposant que √
2 est rationnel. Il existe
donc deux entiers naturels non nuls p et q tels que √
2 = p
q
.
1. On considère un triangle PQR rectangle et isocèle en P tel que PQ = PR = q.
Démontrer que QR = p.
2. Ainsi, il existe au moins un triangle rectangle isocèle dont tous les côtés ont des longueurs
qui sont des nombres entiers. Parmi tous les triangles rectangles isocèles à côtés entiers,
on note ABC celui qui a les plus petits côtés. On suppose qu'il est rectangle en A et on
pose a = BC et b = AB = AC. Enfin, on note D le point de [BC] tel que CA = CD et E
le point d'intersection de [AB] avec la perpendiculaire à [BC] passant par D.
a. Faire une figure.
b. Montrer que le triangle BDE est rectangle isocèle en D.
c. Montrer que la longueur BD est un entier.
d. Montrer que AE = a − b et en déduire que la longueur BE est un entier.
e. Conclure.