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Niveau autre
nombre parfait
Posté par leo2bordo
Bonjour,
J'ai un exercice sur les nombres parfaits et il y a une question que je n'arrive pas à résoudre.
On note x entier naturel superieur ou egal à 2, s(x) la somme des diviseurs de x.
x est parfait s'il est la somme de ses diviseurs stricts, ie s(x)-x=x ou encore s(x)=2x.
Montrer que si k € N, y entier naturel impair superieur ou egal à 2,
alors
J'ai commencé par une récurrence et je n'abouti pas au resultat.
Ensuite, je suis parti de et j'arrive bien sur au résultat mais je n'ai surment pas le droit d'ecrire cette egalité sans la justifié!
Pourriez-vous m'aider?
Merci
Salut !
Il faudrait en effet commencer par prouver que s(m)s(n)=s(mn) des que m et n sont premier entre eux.
Pour cela il s'agit d'un calcule tres géneral, utilisant essentiellement le fait que l'application:
D(n)*D(m) -> D(mn)
(u,v) -> (uv)
est une bijection des que m et n sont premier entre eux, ou D(k) désigne l'ensemble des diviseur de k
à partir de la vu que s(n)= somme pour x dans D(n) de x.
on s(n)s(m) = somme pour (u,v) dans D(n)*D(m) de u*v = somme pour x dans D(nm) de x = s(mn)
Et pour prouver que c'est bien une bijection, ba faut faire un peu d'arthmétique elementaire, on peut par exemple montrer que l'application
g : k -> (pgcd(k,n) , pgcd(k,m) )
est l'application récproque... enfin je te laisse réfléchir un peu à ca...
Merci je ne pensais pas que la demonstration serait si longue mais je pense que je vais m'en sortir.