Bonsoir,

Quelles valeurs de n as-tu essayées ?

Bonsoir,
tu peux calculer 6*12+5 . . .

Pour n = 12, on trouve 77 qui n'est pas premier

Merci pour votre conseil

Service

Pour prendre un peu de hauteur, tu sais probablement que les nombres premiers ont un côté mystérieux pour beaucoup de gens. Déterminer si un nombre très grand est un nombre premier, c'est souvent compliqué. (Et beaucoup d'outils de sécurité informatique s'appuient sur cette complexité)
Chercher un nombre premier entre 10⁵⁰⁰ et 2*10⁵⁰⁰, c'est compliqué. Personne n'a de recette magique pour trouver un nombre premier dans cet intervalle. Et on sait pourtant estimer assez bien le nombre de nombres premiers dans cet intervalle.

Si la propriété proposée était vraie, alors on aurait soudain une recette magique pour fabriquer des milliards de nombres premiers.
Recette trop magique pour être vraie.

Tianto n'a même pas besoin de se fatiguer à compter jusqu'à 5 ... puisque verdurin fait le travail pour lui.
Est-ce vraiment lui rendre service ?

Bonjour,

compter jusqu'à 5 ?
hum, là on a "essayé" n de 1 à 12
et 12 est le plus petit n non multiple de 5 pour lequel 6n+5 n'est pas premier
on pourrait dire plutôt "compter jusqu'à 12" ?!

sinon
on peut choisir un nombre premier (premier avec 6) q > 5
(pourquoi > 5 ? parce que 6n + 5 n'est jamais divisible par 2, 3 ou 5 si n n'est pas multiple de 5)
et résoudre
le plus petit q est donc 7 et
(Euclide par exemple)
et on "tombe" alors, une fois éliminé les multiples de 5, sur le contre exemple de verdurin

la même méthode marche pour tout nombre q premier avec 6 (pour pouvoir multiplier par l'inverse de 6 modulo q )
et donne un contre exemple divisible par q

Au temps pour moi, j'avais zappé le "non multiple de 5".
Il n'en reste pas moins que, vu que j'avais suggéré au questionneur d'essayer des valeurs de , verdurin aurait pu laisser celui-ci faire ces essais avant de se précipiter pour lui apporter 12 ...

En supérieur, on doit avoir d'autre arguments pour répondre à la question :
Si p termes sont en progression arithmétique de raison r, l'un  des p termes sera un multiple de p  (sauf cas particulier, si  r est non premier avec p)
Ici,on avait 11 termes en progression arithmétique (f(2) à f(12), et le 11ème était multiple de 11.
La contrainte n non multiple de 5 embrouille un peu, mais l'argument reste utilisable.
n=6, n=11, n=16 ... n=56 :
41, 71,101,131, 161, 191, 221 , 251, 281 , 311, 341
l'un et un seul de ces termes est multiple de 11.

Bah, l'argument qui consiste à exhiber explicitement un non premier me semble très valable, même en supérieur !

L'argument est parfait.

Mais si on calcule les 5 ou 6 premiers termes, et qu'on n'a toujours pas de contre-exemple, certains pourraient conclure un peu hâtivement : la propriété est vraie pour les 6 premiers termes, elle est donc vraie pour tout entier.
Et comme la question demandait un oui ou non, sans vraiment de justification, certains pourraient répondre oui hâtivement.
Il y a ce risque.
Et là, un peu de souvenir des connaissances passées, et on se dit : non... ce n'est pas possible, les apparences sont trompeuses. La propriété semble vraie, mais il y a un vague résultat sur les suites arithmétiques qui me dit le contraire...
Et là, soit on formalise ce résultat sur les suites arithmétiques, soit on continue d'explorer les petits nombres, jusqu'à ce fameux n=12.