Niveau LicenceMaths 2e/3e a

nombre premier qui divise une somme de deux carrés

Posté par
mousse42 07-08-20 à 18:01

Bonjour

Voici un Lemme dont je tente de comprendre la démonstration sans succès.

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Si un nombre premier, somme de deux carrés, divise une somme de deux carrés premiers entre eux, le quotient est lui même une somme de deux carrés premiers entre eux.

Voici le document (malou edit > j'ai rapatrié le pdf) (page 305 et 306 du document de 6 pages)
_______________________________________________________________________________________________

On suppose que $p=a^2+b^2$ et que $pm=A^2+B^2$ avec $A\land B=1$ , et on veut montrer qu'il existe $x,y\in \N$ tel que $m=x^2+y^2$ et $x\land y=1$

Voilà ce que j'ai compris, ensuite je vous dirais où je coince :

Il semble que la démonstration essaie de dégager des CNs.

On suppose que ce couple (x,y) existe.

On a donc $pm=(a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax+by)^2+(ay-bx)^2=A^2+B^2$

Donc il faut que $ax+by=A$ admette une solution. Puisque $a,b$ sont premier entre eux, on a :

$S=\big\{(x_0+kb,y_0-ka):k\in \Z\big\}$

Il reste donc à choisir $k$ (s'il existe!) de tel sorte que $ay-bx=B$

$ay-bx=ay_0-bx_0-k(a^2+b^2)$

Dans la démonstration il pose $C_0=ay_0-bx_0$ et $ay-bx=C=C_0-k(a^2+b^2)$

Et des identités (1) et (5) il déduit que $p\mid (B-C_0)$ pour choisir le bon $k$ qu'il note $\mu$ , or c'est juste une CN, rien ne dit $B-C_0$ soit un multiple de $p$ et $C_0$ dépend de la solution particulière $(x_0,y_0)$ , une solution indépendante de $B$

Je bloque à ce niveau

merci pour votre aide

Posté par re : nombre premier qui divise une somme de deux carrés 07-08-20 à 18:47

Bonjour mousse42,

par hypothèse, $p$ divise $A^2+B^2=pm$ (sans rien supposer sur $x,y$ ).

D'autre part, $p$ divise $A^2+C_0^2=(ax_0+by_0)^2+(ay_0-bx_0)^2=(a^2+b^2)(x_0^2+y_0^2)$ .

Donc $p$ divise la différence $B^2-C_0^2$ . Quitte à changer $B$ en $-B$ on en déduit que $p$ divise $B-C_0$

Posté par re : nombre premier qui divise une somme de deux carrés 07-08-20 à 19:13

merci jandri

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