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Niveau Maths sup
nombre réel
Posté par sarr
bonsoir, j'aimerai savoir si la résolution de cet exercice est bonne.
voici l'énoncé: montrer que[racine 2] n'est pas rationnel.
ma résolution est la suivante:
racine carré de 2 est égale à 2 exposant 1/2
soit p=1 et q=2 implique p/q=1/2
on a q pair et p>0 équivaut à dire que 2 exposant 1/2 appartient[R+]
Or Q= Z/Z* donc 2 exposant 1/2 nonappartient[Q]
d'ou racine carré de 2 n'est pas rationnel
Bonjour,
les grecs, à l'origine de la démonstration que tu cherches, n'avaient pas tes outils sous la main.
Pour ma part, j'avoue que tes explications ne m'ont pas convaincu. Je ne dis pas qu'ellessont erronées, remarque, je suis incapable de juger.
Je te donnes une autre approche :
si on part de l'hypothèse que est rationnel, alors il peut s'écrire comme le rapport de deux entiers p et q premiers entre eux, c'est à dire n'ayant pas de facteurs communs.
Elevons au carré, nous obtenons
, donc
est divisible par 2, donc, du fait de la décomposition des entiers en produit de facteurs, p aussi. Soit alors p=2p'.
Alors , donc
. Donc q est divisible par 2. Donc p et q ont un facteur commun, ce qui est contradictoire avec l'hypothèse que
est rationnel.
J'espère que cela aura pû t'aider.