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Nombres complexe - Transformations complexes

Posté par
FitzBdx
29-09-10 à 16:34

Bonjour à tous,
je bute sur une question d'un devoir maison. En voici l'énoncé:

Soit une transformation T qui associe au point M(z) les points M1 d'affixe z1 tel que:
     Z1=z²
On a D l'ensemble des points M d'affixe z tel que : Re(z)=1.

-La question est: En déduire que les images des points de D par T sont une conique dont on précisera une équation. On déterminera ensuite l'ensemble des points dont l'image par T appartient à D.(-> Ici on est sensé retrouver une conique dont on précisera de nouveau l'équation)  

J'ai préalablement exprimé les coordonnées x1 et y1 du point M1 en fonction des coordonnées x et y du point M. J'obtiens x1=x²-y²  et y1=2xy

Ainsi donc voici les données utiles à la résolution de mon problème.

J'ai vainement essayé de construire un graph pour mieux visualiser la situation.
Je ne sais pas comment utiliser les coordonnées que j'ai trouver précédemment.

Merci d'avance pour l'aide que vous m'apporterez.
Cordialement Fitz-

Posté par
LeHibou
re : Nombres complexe - Transformations complexes 29-09-10 à 17:30

Bonjour,

Dans un sens, les points de D sont de la forme 1+iy, pour y réel
Les transformés par T sont donc de la forme (1+iy)² = 1-y²+2iy
Donc :
X = 1-y²
Y = 2y
et en éliminant y entre les deux :
X = 1-(Y/2)²
X = 1 - Y²/4
C'est une parabole d'axe horizontal OX, de sommet (1,0), et dont les branches infinies partent vers la gauche

Dans l'autre sens, tu as Re(z) = 1, donc x²-y² = 1
C'est une hyperbole dont les asymptotes sont les droites obliques y = x et y = -x, et les sommets (1,0) et (-1,0)

Sauf erreur

Posté par
FitzBdx
re : Nombres complexe - Transformations complexes 29-09-10 à 17:56

Merci pour votre réponse M. LeHibou, mes calculs, quand à la première partie de la question, colle avec les vôtres.

Etant donné que Re(z)=1, les coordonnées de Z1: x1=x²-y² et y1=2xy deviennent en remplacant x par 1 :

    x1=1-y²
    y1=2y  

Mon système devient : x1 = 1 - 1/4(y1²)  (1)
                      y = 1/2(y1)

Ok! En revanche c'est la 2ème partie de la question qui me gène.

Puisque l'on cherche les points dont l'image par T appartient a D(Re(z)=1), ne devrais-je pas prendre l'equation (1), l'ecrire sous la forme Y1=(-4X1 + 4) où X1=1 ?
Evidemment je tombe sur une incohérence, et je cherche.. sans resultat.

Qu'en pensez vous?

Posté par
LeHibou
re : Nombres complexe - Transformations complexes 29-09-10 à 18:03

Je crois que tu fais une erreur d'interprétation de l'énoncé :
Les points z dont l'image par T appartient à D sont les points z tels que Re(T(z)) = 1, donc Re(z²) = 1
0r Re(z²) = x²-y² comme tu l'as toi-même montré, donc x²-y² = 1
je persiste

Posté par
FitzBdx
re : Nombres complexe - Transformations complexes 29-09-10 à 18:18

Ok!

A vrai dire, l'énoncé me posait effectivement problème.

Vous faites preuve d'une bonne rigueur, j'ai compris d'où venait mon problème.

Merci encore, et à bientôt! Votre aide m'a été précieuse.

Cordialement Fitz-

Posté par
LeHibou
re : Nombres complexe - Transformations complexes 30-09-10 à 00:52

C'était un plaisir !



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