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nombres complexes

Posté par rajma (invité) 27-12-04 à 01:09

bonsoir,j'ai besoin de votre aide !
il s'agit de:
a)-exprimer cos(3x),cos(4x) et sin(5x) en terme de cos(x) et sin(x).
b)-linéariser cos^3(x), sin^3(x), cos^4(x), sin^5(x) et cos^2(x)sin^2(x).
c)-calculer  cos(x)+cos(2x)+cos(3x)+...+cos(nx).

j'ai réussi à faire (a) et (b)et j'ai besoin de votre aide pour faire le (c)

merci

*** message déplacé ***

Posté par
ma_cor
Re nombres complexes 27-12-04 à 10:51

Bonjour rajma.
Donne ce que tu as obtenu comme résultats pour que je puisse voir si tu as les bonnes réponses.
L'exo c) fait-il suite à a) et b)?
Merci d'avance.

*** message déplacé ***

Posté par rajma (invité)coplexes 27-12-04 à 12:05

bonjour ma-cor!
mes réponses sont:
a)-cos(3x)=Re[(cos(x)+isin(x))^3]
(cos(x)+isin(x))^3=cos(x)^3+3icos(x)^2*sin(x)-3cos(x)*sin^2-isin^3(x) .
donc:cos(3x)=cos^3(x)-3cos(x)*sin^2(x).
-cos(4x)=Re[cos(x)+isin(x))^4].
         =cos^4-6cos^2(x)*sin^2(x). -sin(5x)=IM[(cos(x)+isin(x))^5].
         =5cos^4(x)*sin(x)-10cos^2(x)*sin^3(x)-sin^5(x). b)
-cos^3(x)=[(e[/sup]ix + e[sup]-ix )/2)
            =1/8 *(e[/sup]3ix +3e[sup]2ix *e[/sup]-ix +3e[sup]ix *e[/sup]-2ix +e[sup]-3ix).
            =1/4(cos(3x)+3cos(x))
  


*** message déplacé ***

Posté par rajma (invité)pardon 27-12-04 à 12:06

desolée je l'ai posté sans finir
je vais tout de suite ecrire la suite
désolée

*** message déplacé ***

Posté par rajma (invité)nombres complexes 27-12-04 à 12:51

bonjour ma-cor!
mes réponses sont:
a)-cos(3x)=Re[(cos(x)+isin(x))^3]
(cos(x)+isin(x))^3=cos(x)^3+3icos(x)^2*sin(x)-3cos(x)*sin^2-isin^3(x) .
donc:cos(3x)=cos^3(x)-3cos(x)*sin^2(x).

-cos(4x)=Re[cos(x)+isin(x))^4].
         =cos^4-6cos^2(x)*sin^2(x).

-sin(5x)=IM[(cos(x)+isin(x))^5].
         =5cos^4(x)*sin(x)-10cos^2(x)*sin^3(x)-sin^5(x).

b)-cos^3(x)=[(eix + e-ix )/2)
            =1/8 *(e3ix +3e2ix *e-ix +3eix *e-2ix +e-3ix).
            =1/4(cos(3x)+3cos(x))

-sin^3(x)=[(e[/sup]ix -e[sup]-ix)/2i]3.
          =-1/i8 *(e[/sup]3ix-3e[sup]2ixe[/sup]-ix+3e[sup]ix *e[/sup]-2ix-e[sup]-3ix.
          =-/8i *(2isin(3x)-6isin(x))
          =-1/4 *(sin(3x)+3sin(x)).

-cos^4(x)=[(e[/sup]ix +e[sup]-ix)/2]^4
         =1/16(e[/sup]4ix +4e[sup]3ix *e[sub][/sub]-ix +6e[/sup]2ix *e[sup]-2ix +4e[/sup]ix *e[sup]-3ix +e[/sup]-4ix.
         =1/16(2cos(4x)+8cos(2x)+6)
         =1/8 (cos(4x)+4cos(2x)+3).

-sin^5(x)=[(e[sup]
ix -e[/sup]-ix)/2i]^5.
         =1/32i (e[sup]
5ix -5e[/sup]4ix *e[sup]-ix +10e[/sup]3ix *e[sup]-2ix -10e[/sup]2ix *e[sup]-53ix +e[/sup]ix *e[sup]-4ix -e[sup][/sup]-5ix.
         =1/32i (2isin(5x) +20isin(x) -10isin(3x).
         =1/16  (sin(5x)+10sin(x)-5sin(3x)).

-cos^2(x)sin^4(x) =1/16 (cos(2x)+1)*(cos(4x)-4cos(2x)+3)

parfois je brule des etapes pour gagner le temps


je crois que (c) fait suite à (a) et (b)  
merci d'avance

*** message déplacé ***

Posté par rajma (invité)aidez moi 27-12-04 à 14:51

aidez moi SVP

*** message déplacé ***

Posté par rajma (invité)de l aide SVP 27-12-04 à 17:06

aidez moi SVP

*** message déplacé ***

Posté par rajma (invité)aidez moi SVP 27-12-04 à 17:55

aidez moi SVP

*** message déplacé ***

Posté par rajma (invité)nombres complexes 27-12-04 à 19:39

bonsoir,j'ai besoin de votre aide !
il s'agit de:
a)-exprimer cos(3x),cos(4x) et sin(5x) en terme de cos(x) et sin(x).
b)-linéariser cos^3(x), sin^3(x), cos^4(x), sin^5(x) et cos^2(x)sin^2(x).
c)-calculer  cos(x)+cos(2x)+cos(3x)+...+cos(nx).

j'ai réussi à faire (a) et (b)et j'ai besoin de votre aide pour faire le (c)

merci


*** message déplacé ***

Posté par rajma (invité)re : nombres complexes 27-12-04 à 19:41

mes réponses sont:
a)-cos(3x)=Re[(cos(x)+isin(x))^3]
(cos(x)+isin(x))^3=cos(x)^3+3icos(x)^2*sin(x)-3cos(x)*sin^2-isin^3(x) .
donc:cos(3x)=cos^3(x)-3cos(x)*sin^2(x).

-cos(4x)=Re[cos(x)+isin(x))^4].
         =cos^4-6cos^2(x)*sin^2(x).

-sin(5x)=IM[(cos(x)+isin(x))^5].
         =5cos^4(x)*sin(x)-10cos^2(x)*sin^3(x)-sin^5(x).

b)-cos^3(x)=[(eix + e-ix )/2)
            =1/8 *(e3ix +3e2ix *e-ix +3eix *e-2ix +e-3ix).
            =1/4(cos(3x)+3cos(x))

-sin^3(x)=[(eix -e-ix)/2i]3.
          =-1/i8 *(e3ix-3e2ixe-ix+3eix *e-2ix-e-3ix.
          =-/8i *(2isin(3x)-6isin(x))
          =-1/4 *(sin(3x)+3sin(x)).

-cos^4(x)=[(eix +e-ix)/2]^4
         =1/16(e4ix +4e3ix *e-ix +6e2ix *e-2ix +4eix *e-3ix +e-4ix.
         =1/16(2cos(4x)+8cos(2x)+6)
         =1/8 (cos(4x)+4cos(2x)+3).

-sin^5(x)=[(eix -e-ix)/2i]^5.
         =1/32i (e5ix -5e4ix *e-ix +10e3ix *e-2ix -10e2ix *e-53ix +eix *e-4ix -e-5ix.
         =1/32i (2isin(5x) +20isin(x) -10isin(3x).
         =1/16  (sin(5x)+10sin(x)-5sin(3x)).

-cos^2(x)sin^4(x) =1/16 (cos(2x)+1)*(cos(4x)-4cos(2x)+3)

parfois je brule des etapes pour gagner le temps


je crois que (c) fait suite à (a) et (b)  
merci d'avance


*** message déplacé ***

Posté par minotaure (invité)re : nombres complexes 27-12-04 à 19:54

salut
hum je ne pense pas que c) fait suite a a) et b).

MAIS :

cos(x)+cos(2x)+cos(3x)+...+cos(nx)=Re[e^(ix)+e^(2ix)+...+e^(inx)]

or S=e^(ix)+e^(2ix)+...+e^(inx) est la somme des n premiers termes de la suite geometrique de raison e^(ix) et de premier terme e^(ix).

1 er cas e^(ix) different de 1. donc x different de 2*k*Pi, k dans Z.

la raison etant differente de 1 on a :
S=e^(ix)*[e^(inx)-1]/[e^(ix)-1]

or e^(ix)-1=e^(ix/2)*[e^(ix/2)-e^(-ix/2)]
et e^(inx)-1=e^(i*n*x/2)*[e^(i*n*x/2)-e^(-i*n*x/2)]

ce qui donne S=e^(ix)*e^(inx/2)*e^(-ix/2)*[e^(inx/2)-e^(-inx/2)]*[e^(ix/2)-e^(-ix/2)]

donc S=e^(ix*(n+1)/2))*[e^(inx/2)-e^(-inx/2)]*[e^(ix/2)-e^(-ix/2)]

on utilise la formule d'Euler suivante :
sin(x)=(1/2i)*(e^(ix)-e^(-ix))

ce qui donne S=e^(ix*(n+1)/2)*sin(nx/2)/sin(x/2)

Re(S)=Re(e^(ix*(n+1)/2)*sin(nx/2)/sin(x/2))=cos[(n+1)/2]*sin(nx/2)/sin(x/2)

pour x different de 2*k*Pi, k dans Z, on a :
cos(x)+cos(2x)+cos(3x)+...+cos(nx)=cos[(n+1)/2]*[sin(nx/2)]/[sin(x/2)]

2eme cas :
pour x=2*k*Pi, k dans Z
cos(x)+cos(2x)+cos(3x)+...+cos(nx)=1+...+1=n.

a+.

*** message déplacé ***

Posté par rajma (invité)nombres complexes 28-12-04 à 00:01

bonsoir Minotaure
merci infiniment pour pour votre réponse!
j'ai compris toutes les etapes ,j'ai refais l'exercice et j'ai obtenu les meme resultats  .

merci encore une fois

*** message déplacé ***

Posté par rajma (invité)re : nombres complexes 28-12-04 à 00:31

ah! j'ai oublié de vous dire qu'il y a un "x" qui manque au niveau de "S", je crois que:
Re(S)=cos[x*(n+1)/2] * sin(nx/2)/sin(x/2).

*** message déplacé ***

Posté par minotaure (invité)re : nombres complexes 28-12-04 à 01:31

c'est exact.



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