Niveau terminale

Nombres complexes.

Posté par
latiffa 21-01-10 à 19:19

Bonsoir. Voici un exercice que j'ai a faire pour lequel j'ai besoin d'aide :

Soit (E) l'équation $(\frac{z-2}{z-1})$ ²=i.
1. On suppose que z est solution de (E), que vaut $|\frac{z-2}{z-1}|$ .
(sachant que z a été calculé a l'aide de $(\frac{z-2}{z-1})$ =i et qu'on a $z=\frac{3+i}{2}$ )
2. En déduire que : si z est solution de (E) alors la partie réelle de z est égale à $\frac{3}{2}$ .
3. Résoudre alors dans l'équation (E), en cherchant la forme algébrique de ses solutions (pour cela je devrais me débrouiller).

L'aide serait surtout pour savoir comment procéder pour répondre aux questions 1 et 2. (Oui car a la question 2 a part répondre que c'est dit précédemment, je ne sais pas quoi dire.)

Merci d'avance

Posté par re : Nombres complexes. 21-01-10 à 21:11

Bonsoir,

Citation :
(sachant que z a été calculé a l'aide de $\left(\frac{z-2}{z-1}\right)^2=i$ et qu'on a $z=\frac{3+i}{2}$ )

Je ne pense pas que cette remarque fasse partie de l' énoncé; j' en fais abstraction:

1) $\left(\frac{z-2}{z-1}\right)^2=i$

On passe aux modules:

$\left|\frac{z-2}{z-1}\right|^2=1$

$\left|\frac{z-2}{z-1}\right|=1$

2) Donc $|z-2|=|z-1|$

$|z-2|^2=|z-1|^2$

$(z-2)(\bar{z}-2)=(z-1)(\bar{z}-1)$

Après développement:

$z+\bar{z}=3$

d' où $Re(z)=\frac{z+\bar{z}}{2}=\frac{3}{2}$

Posté par re : Nombres complexes. 21-01-10 à 21:15

comment sais-t-on que $|\frac{z-2}{z-1}|$ = 1 ?

Posté par re : Nombres complexes. 21-01-10 à 21:17

Mais parce que $|i|=1$

Posté par re : Nombres complexes. 21-01-10 à 21:18

Ha oui, c'est pas faux.

Posté par re : Nombres complexes. 21-01-10 à 21:46

Hum, pour la question trois je trouve quelque chose de bizarre.
Avec des $\sqrt{i}$ , est-ce normal ?
Surtout que a la fin j'arrive sur $\frac{2-i-\sqrt{i}}{1+i}$ ce qui me parait vraiment bizarre.

Posté par re : Nombres complexes. 21-01-10 à 22:16

La fonction racine n' est pas définie sur $\mathbb{C}$ : tu ne peux pas écrire $\sqrt{i}$ .

3) On a donc $z=\frac{3}{2}+ki$ avec $k\in\mathbb{R}$ qui donne:

$\frac{\left(-\frac{1}{2}+ik\right)^2}{\left(\frac{1}{2}+ik\right)^2}=i$

en développant:

$\frac{1}{4}-k^2-ik=-k+i\left(\frac{1}{4}-k^2\right)$

Soit: $k^2-k-\frac{1}{4}=0$

$k_1=\frac{1-\sqrt{2}}{2}$ $k_2=\frac{1+\sqrt{2}}{2}$

D' où 2 solutions:

$z_1=\frac{3}{2}+\frac{1-\sqrt{2}}{2}\,i$ $\;\;\;\;z_2=\frac{3}{2}+\frac{1+\sqrt{2}}{2}\,i$

Posté par re : Nombres complexes. 21-01-10 à 22:24

cailloux tu as fais quoi comme étude ?
tu es prof ou les maths c'est ton loisir ?
puisque tu as des solutions à tout

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