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Nombres complexes
Salut,
J'ai besoin d'aide pour un exercice.
Merci d'avance.
Énoncé:
Soit l'équation (E): (sinα)²Ζ²-4(sinα)Ζ+4+(cosα)²=0 avec 0<α<π . On désigne par M et N d'affixes respectifs Z et Z', les images des solutions de (E) dans le plan complexe muni du repère orthonormé (O;u;v)
1. Que peut-on dire de Z et Z' ?
(choisir la(les) bonne(s) réponse(s) )
a) ils ont le même module.
b)pour tout α, le triangle OMN est un triangle quelconque.
c)Z=Z'(barre)
d)Z=-Z'(barre)
e)Z=-Z'
2. Quel est l'affixe du centre de gravité du triangle OMN ?
3. Quel est l'ensemble (Γ) des points M et N lorsque α décrit ]0;π[ ? (choisir la bonne réponse):
a) Une éllipse.
b)une hyperbole
c)une parabole
d) La réunion de deux droites.
e) autre ensemble
4. Donner l'écriture complexe de l'ensemble (Γ) .
[Mon début]
1.
Le discriminant de (E) est Δ=16sin²α - 4sin²α[4+cos²α]=-(2cosαsinα)²=-(sin2α)²
Δ<0
Donc Z et Z' sont complexes et sont de la forme a±ib avec a et b des réels.. Ainsi
Z et Z' ont le même module et Z=-Z' (barre) .
2. Je calcule d'abord Z et Z' en résolvant (E).
Δ=(isin2α)² <=>
Z=(4sinα-isin2α)/2sin²α
Z'=(4sinα+isin2α)/2sin²α .
L'affixe du centre de gravité du triangle OMN est g=(0+Z+Z')/3.
je trouve g=4/(3sinα).
3. c'est là où je me bloque ...
Dans le repere (O; u; v) on a :
M(2/sinα ; -sin2α/2sin²α) et N(2/sinα ; sin2α/2sin²α) ...je ne vois pas comment proceder
Bonsoir,
Les coefficients de l'équation sont des réels ; donc les solutions sont conjuguées.
C'est a) et c) pour 1). Pas d).
Pour le reste OK.
Pour 3) :
Poser M(x ; y) avec x = 2/sin
et y = 
cos/sin.
On peut exprimer y2 en fonction de x.
Bonjour,
La méthode est générale, il faut poser :
x = 2/sinα
y = -sin2α/2sin²α
et éliminer entre les deux équations pour obtenir une relation entre x et y.
Une piste pour cela :
sin2 = ???
et quelques autres relations trigonométriques que tu dois connaître ou que tu devras chercher...
Bonsoir,
puisque le point 1 est terminé, je me permets.
On peut se passer du calcul du discriminant et utiliser uniquement la factorisation
on obtient une équation "produit nul" à résoudre
Ok je vois 
.
pour la 3) : x = 2/sinα
y = ±cosα/sinα
y²=cos²α/sin²α=(cos²α/2sinα)x ça semble être une parabole..
Bonjour,
La méthode est générale, il faut poser :
x = 2/sinα
y = -sin2α/2sin²α
et éliminer
entre les deux équations pour obtenir une relation entre x et y.
Une piste pour cela :
sin2
= ???
et quelques autres relations trigonométriques que tu dois connaître ou que tu devras chercher...
Je n'arrive jusqu'ici pas à éliminer α ... en miltipliant x par cosα et y par 2 j'obtiens
2y + cosα x =0
Messages croisés
Exprime sin en fonction de x.
Exprime y2 en fonction de sin (il faut se débarasser de cos).
sina=2/x => cosa=√(1-(2/x)²)
y²=cos²a/sin²a
=(x/2)²[1-(2/x)²]
=x²/4 - 1
<=> x²/4 - y²=1 : Hyperbole.
Attention, le cosinus peut être négatif.
cos2a en fonction de x suffit pour remplacer dans y2
Après, tu ne peux pas conclure "Hyperbole", mais seulement "inclus dans une hyperbole".
Pour la dernière question j'utilise:
z=x+iy et z'=x-iy (z' étant le conjugué de z : je ne trouve pas le symbole de la mésure algébrique)
z+z'=2x <=> x=(z+z')/2 => x²=¼(z+z')²
De même j'obtiens y²=-¼(z-z')².
L'écriture complexe recherchée est
¼(z+z')²-(z-z')²=4
En notant (H) l'hyperbole d'équation x²/4 - y²=1, tu as démontré (
) 
(H).
Il n'y a pas égalité car il y a des points de l'hyperbole (H) qui ne sont pas sur ().
salut
on peut se passer de calculer les solutions de cette équation
comme l'a dit Sylvieg on a un trinome du second degré à coefficients réels donc les solutions sont conjuguées (et donc de même module)
en notant m l'affixe de m et n = m* l'affixe conjuguée de N
l'affixe g du centre de gravité du triangle OMN vérifie 3g = 0 + m + n = m + m*
or la somme des racines du trinome est 4 sin a/(sin a)^2 = 4/sin a (le fameux "-b/(2a)")
pour la suite je ne vois pas comment on peut se passer des solutions ... 
mais je me demande si ce n'est pas possible ...
si , ça peut être possible . .. il faudra creuser un peu profond et voir .
Donc il n' y pas de bonne réponse pour la 3 => e.
D'accord pour la 3)
Pour 4), il y a une erreur de signe, et il faut ajouter que la partie réelle de z est positive.
..
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