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Nombres complexes
Bonjour,
Je suis bloquée sur un nouveau sujet, votre précieuse aide pourrait m'aider à avancer !
125 [Calculer.]
Soit P le polynôme à coefficients réels défini sur C par : P(z) = z+2z³ — 5z² — 2z+1.
1. a. Vérifier que 0 n'est pas une racine du polynôme P.
J'ai fait cette question, c'était facile.
P(0)=1 (n'est pas égal à 0 )
Donc 0 n'est pas une racine de P.
b. Pour z 0, on pose u=z-1/z
Calculer P(z) /z^2 pour z 0 et l'exprimer en fonction de u.
J'ai calculé P(z)/z^2:
(z^4+2z^3-z^2+2z+1)/z^2
=z^2+2z-5-2/z+1/z^2
Mais je n'arrive pas à écrire cela en fonction de u.Pourriez-vos m'aider s'il vous plaît ?
2. En déduire les racines dans C du polynôme P. On les écrira sous forme algébrique.
D'abord merci d'avoir répondu.
Oui , j'avais essayé mais je n'ai pas pu arriver à trouver une relation entre u et P(z)/z^2.
u^2=z^2-2+1/z^2.
joli ton poisson 
P(z)/z² = =z^2+2z-5-2/z+1/z^2 = (z²-2+1/z²)-3+2z-2/z
non ?
larrech reprend la main dès qu'il revient 
Ah oui.
Merci.
Alors P(z)/z²=u²+2u-3
∆=-8<0
Donc il y a deux solutions complexes.
u1=-1+i√2 et U2=-1-i√2.
Alors z-1/z= u1 ou z-1/z=U2
?
J'ai calculé P(z)/z^2:
(z^4+2z^3-z^2+2z+1)/z^2
il a changé le polynôme ? c'est plus z^4+2z^3-5z^2-2z+1
1) a) P(0)=1 (pas égal à 0)
Donc 0 n'est pas une racine de P .
b) P(z)/z²=(z⁴+2z³-5z²-2z+1)/z²=z²+2z-5-2/z+1/z²
Or u=z-1/z
u²-3=z²-5+1/z²
Donc P(z)/z²=u²+2u-3
2) ∆=16>0
Il y a deux solutions réelles distinctes.
u1=-3 u2=1
Donc z-1/z= -3 ou z-1/z=1
J'ai trouvé 4 solutions réelles mais comme les nombres complexes contiennent les nombres réelles,les racines de P dans C sont :
(-3-√13)/2
(-3+√13)/2
(1-√5)/2
(1+√5)/2
J'ai écrit tout ce que j'ai fait.
C'est bon ?
Merci pour vos aides.
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