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Nombres complexes et géométrie

Posté par
lollipop-ins 03-01-10 à 14:01

Bonjour à tous

Je bloque sur le deuxième exercice de mon dm, qui porte sur les nombres complexes (qui n'ont jamais été ma tasse de thé )
Voici l'énoncé:

On désigne par Mn le point du plan complexe d'affixe Zn définie par:

Zn= (1/2)^n e(in*Pi/3) = (1/2)^n (cosn (Pi/3) + isin n (Pi/3))

où n est un nombre entier naturel et où Mo est le point d'affixe zo= 1

1) Déterminer les valeurs de n pour lesquelles zn est un réel
2) Le plan complexe P est rapporté à un repére orthonormal. (O; vecteur u ; vecteur v ) (unité = 8cm )
a) Représenter dans P les points Mo, M1, M2, M3, M4
b) Calculer en fonction de n les longueurs des trois cotés du triangle OMnMn+1.
Montrer que ce triangle est rectangle.

Désolée pour les notations
J'ai vraiment besoin d'aide, je bloque des la première question!

Merci d'avance.

Posté par
cailloux Correcteurre : Nombres complexes et géométrie 03-01-10 à 20:30

Bonjour,

1) Arg(z_n)=\frac{n\pi}{3}\;\;[2\pi]

Avec n\in\mathbb{N}:

z_n\in\mathbb{R}\Longleftrightarrow \frac{n\pi}{3}=k\pi\;\;\;\;k\in\mathbb{N}

Soit n=3k

2)a) un dessin:

Nombres complexes et géométrie

2)b) OM_n=|z_n|=\frac{1}{2^n}

OM_{n+1}=|z_{n+1}|=\frac{1}{2^{n+1}}

M_nM_{n+1}=|z_{n+1}-z_n|=\left|\frac{1}{2^{n+1}}e^{i\frac{(n+1)\pi}{3}}-\frac{1}{2^n}e^{i\frac{n\pi}{3}}\right|

M_nM_{n+1}=\left|\frac{1}{2^n}\left(\frac{1}{2}e^{i\frac{\pi}{3}}-1\right)\right|=\frac{1}{2^n}\left|\frac{1}{2}e^{i\frac{\pi}{3}}-1\right|

M_nM_{n+1}=\frac{1}{2^n}\left|-\frac{3}{4}+i\frac{\sqrt{3}}4{}\right|

M_nM_{n+1}=\frac{\sqrt{3}}{2^{n+1}}

et on a bien OM_{n+1}^2+M_nM_{n+1}^2=OM_n^2

ce qui prouve que OM_nM_{n+1} est rectangle en M_{n+1}


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