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Niveau Licence Maths 1e ann
Nombres de Mersenne premiers
Posté par Meiosis
Bonjour,
J'ai essayé de reformuler la conjecture de Lenstra-Pomerance-Wagstaff en utilisant le théorème de Wilson :https://******
Je pense que j'ai faux au niveau des sommations infinies page 3, ça reste trop abstrait pour moi.
Je compte sur vous pour me donner une piste si possible.
Merci.
modération > *** merci de respecter le règlement concernant les images , lire Q05 
[lien] ***
Abstract
Un nombre de Mersenne est un nombre de la forme M_n = 2^n-1 avec n un entier naturel.
Un nombre de Mersenne premier est de la forme M_p = 2^p − 1 avec certaines valeurs de p premières.
Lenstra, Pomerance et Wagstaff (ci-après abrégée conjecture LPW) ont conjecturé qu'il y a une infinité de nombre de Mersenne premiers.
Dans cet article j'essaye de reformuler la conjecture LPW en utilisant le théorème de Wilson.
La reformulation
Soit n un entier tel que n ≥ 1 et σ(n) est la somme des diviseurs de n et k est un entier tel que k ≥ 1.
1/((n − σ(n))^2) − (σ(n) − n)!/(n − σ(n))^3 = k
Je vérifie la formule en utilisant Python, Wolframalpha pour les petits nombres et Sage.
1. Quand n est premier alors k=2
2. Avec certaines valeurs de n, k ̸= 2
Nous étudierons le cas où k ̸= 2
Parfois k ̸= 2 pour différentes valeurs n mais avec les mêmes valeurs de σ(n) − n
Par exemple avec n=27 et n=35 il vient : k = 2834329.
Python et contre-exemples
J'utilise le code suivant pour trouver un éventuel contre-exemple.
from math import ∗
from f r a c t i o n s import F ra c tio n
def di v ( n ) :
l l = [ ]
for i in range ( 1 , n+1):
i f n % i == 0 :
l l . append ( i )
return sum( l l )
for i in range ( 2 , 1 0 0 0 0 ):
d i v i = di v ( i )− i
r e s = F ra c tio n ( 1 , d i v i ∗∗2 ) − F ra c tio n ( f a c t o r i a l ( d i v i ) , d i v i ∗∗3 )
i f r e s . denominator==1 and r e s . numerator !=2:
pr int ( i , r e s )
Notons que div(n) devrait être remplacé par mu(n) afin de réduire le temps d'exécution du programme.
Preuve
Conjecture : Soit p un nombre premier tel que p ≥ 3, n un nombre composé et k un entier tel que k ̸= 2. Pour certaines valeurs de n il existe un entier k tel que : 1/(n − σ(n))^2 - (σ(n) − n)!/(n − σ(n))^3 = k où σ(n) − n = p
Preuve : J'ai essayé de trouver tous les entiers n tels que σ(n)− n soit premier.
Il est trivial que si p est un nombre premier alors σ(p) − p = 1.
Si σ(n) − n n'est pas premier, je ne m'attarderai pas sur les valeurs pour lesquelles n est premier.
Lemme : Je conjecture que σ(n) − n = +∞ quand n tend vers +∞, donc σ(n)-n serait un très grand nombre et tendrait vers l'infini.
Nous employons le conditionnel car la limite est une forme indéterminée.
Si σ(n) − n pair on a : σ(n) − n = 1 + 2 + ...
Si σ(n) − n est impair on a : σ(n) − n = 1 + ...
D'après le théorème de Wilson : (1 + 2 + ...) est premier
si et seulement si ((1 + 2 + ...) − 1)! ≡ −1 mod (1 + 2 + ...). En d'autres termes : (2 + ...) ≡ −1 mod (1 + 2 + ...)
C'est-à-dire que : (2 + ...) = k(1 + 2 + ...) − 1
Nous pouvons simplifier :
σ(n) − n = (1 + 2 + ...) et σ(n) − (n + 1) = (2 + ...), ensuite on réinjecte et on a :
(σ(n) − (n + 1))! = k(σ(n) − n) − 1
Donc ((σ(n) − (n + 1))! + 1) = k(σ(n) − n)
Donc ((σ(n)−(n+1))!+1)/(σ(n)−n) = k
Finalement, k doit être un entier tel que k ̸= 2 et dans ce cas σ(n)−n est un nombre premier.
La connexion entre le théorème de Wilson et la conjecture
LPW
Je me suis demandé s'il y avait une infinité d'entiers n tels que σ(n)-− n soit premier.
Nous pouvons reformuler le problème ainsi : il y a une infinité d'entiers n tels que ((σ(n)−(n+1))!+1)/(σ(n)−n) = k où k est un entier ̸= 2
Malheureusement cela semble être un sous-problème de la conjecture LPW qui dit plus
précisément qu'il y a une infinité de nombres de Mersenne premiers.
Ton énoncé est malheureusement illisible.
Il y a cependant des choses ou triviales ou fausses et qui ne sont pas des conjectures.
Par exemple: "Je conjecture que σ(n) − n = +∞" est trivialement faux. Si c'était le cas, alors il existerait un entier N tel que pour tout , on ait
.
Or, si un tel N existe, et que je prends le plus petit premier supérieur ou égal à N (il en existe forcément un puisqu'il y a une infinité de nombres premiers), alors
n'est pas > 1. Contradiction.
Ce qui est vrai, et beaucoup moins trivial, c'est que , où
est la constante d'Euler-Mascheroni.
Alors en particulier, aussi