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Niveau seconde
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Nombres parfaits

Posté par
GamBz
12-12-19 à 17:46

Bonjour,

Exercice 2 :

Un nombre entier naturel N est dit parfait s'il est égal à la somme de ses diviseurs positifs autres que lui meme. Par exemple, 28 est un nombre parfait. En effet, les diviseurs de 28 sont 1, 2, 4, 7, 14,28 et 1+2+4+7+14=28.

1) Montrer que 6 et 496 sont des nombres parfaits.
2) 120 est-il un nombre parfait ? Justifier.
3) On admet qu'un nombre entier pair N est parfait si, et seulement si, il est de la forme N=2n(2n+1 -1). n étant un entier supérieur ou égal à 1 tel que 2n+1 -1 soit un nombre premier.
a) Appliquer le résultat de cette formule pour n compris entre 1 et 4. Quels résultats obtient-on ?
b) En utilisant la propriété ci-dessus, déterminer le plus petit nombre parfait pair supérieur au nombre 496
4) Recopier et completer le programme ci de sous afin qu'il teste si un nombre entier donné par l'utilisateur est parfait ou non.
[PROGRAMME EN IMAGE]
5)
a) Modifier et compléter ce programme afin que, dans le cas ou le nombre n est parfait, il affiche la somme des inverses des diviseurs de n
b) Tester ce programmes avec quelques nombres parfaits. Que peut-on remarquer ? Emettre une conjoncture.
c) Démontrer cette conjoncture.

Voila, j'ai déjà essayé mais je n'arrive pas ni mes parents, pourriez vous m'aidez s'il vous plait ?

Nombres parfaits

Posté par
GamBz
re : Nombres parfaits 12-12-19 à 17:47

Je n'ai pas considérer le programme comme un texte donc je l'ai mis en image.

Posté par
sanantonio312
re : Nombres parfaits 12-12-19 à 17:58

Bonjour,
Qu'as-tu fait? Où en es-tu?
Où bloques-tu?
Je suis surpris par la notation 2n+1-1 (ça fait 2n...)

Posté par
GamBz
re : Nombres parfaits 12-12-19 à 18:02

Bonjour, j'ai répondu à la une et la deux

Non mais c'est 2 puissance n (2 puissance n+1 -1)

n+1 est dans la puissance mais pas -1

Posté par
sanantonio312
re : Nombres parfaits 12-12-19 à 18:03

Citation :
j'ai répondu à la une et la deux
Merci de donner tes réponses
Citation :
Non mais c'est 2 puissance n (2 puissance n+1 -1)

n+1 est dans la puissance mais pas -1
Alors écris le 2^(n+1)-1

Posté par
sanantonio312
re : Nombres parfaits 12-12-19 à 18:04

3a, c'est un calcul assez simple à faire 4 fois

Posté par
GamBz
re : Nombres parfaits 12-12-19 à 18:07

Lequel ?

Posté par
sanantonio312
re : Nombres parfaits 12-12-19 à 18:08

Ben celle qu'on vient de te donner:

Citation :
On admet qu'un nombre entier pair N est parfait si, et seulement si, il est de la forme N=2n(2n+1 -1). n étant un entier supérieur ou égal à 1 tel que 2n+1 -1 soit un nombre premier.

Posté par
sanantonio312
re : Nombres parfaits 12-12-19 à 18:16

Et donc, calculer 21(21+1-1)
puis 22(22+1-1)
...

Posté par
sanantonio312
re : Nombres parfaits 12-12-19 à 18:24

Déconnecté... A demain?

Posté par
GamBz
re : Nombres parfaits 12-12-19 à 18:26

Non, j'ai eu le temps de faire la 3, par contre je ne comprends vraiment rien à la 4

Posté par
sanantonio312
re : Nombres parfaits 12-12-19 à 18:29

Citation :
Non, j'ai eu le temps de faire la 3,
Et qu'as-tu trouvé?

Posté par
GamBz
re : Nombres parfaits 12-12-19 à 18:34

1) Montrer que 6 et 496 sont parfaits.
les diviseurs de 6 sont : 1 ; 2 ; 3 et 6 . On a bien 1 + 2 + 3 = 6 donc 6 est parfait
les diviseurs de 496 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 31 ; 62 ; 124 ; 248 et 496 . On a 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496 donc ce nombre est parfait.
2) 120 est-il parfait?
les diviseurs de 120 sont : 1;2;3;4;5;6;8;10;12;15;20,24;30;40;60 et 120 or la somme de ses diviseurs (sauf 120) est égale à 240
donc 120 n'est pas parfait
3) On admet qu'un nombre entier pair N est parfait ssi il est de la forme : N = 2^n (2^n+1 - 1)
n étant un entier supérieur ou égal à 1 tel que (2^n+1 - 1) soit un nombre premier.
a) Appliquer la formule pour n compris entre 1 et 4. Quels résultats trouve-t-on?
pour n= 1 on obtient N = 6
pour n = 2 on obtient N = 28
pour n = 3 on obtient N = 120 mais (2^n+1-1) n'est pas un nombre premier d'ou le fait que 120 ne soit pas parfait.
pour n = 4 on obtient N = 496
b) Les nombres premiers compris entre 100 et 150 sont : 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149
En utilisant la propriété ci-dessus, déterminer le plus petit nombre parfait pair supérieur au nombre 496.
on cherche un nombre N premier, compris entre 100 et 150 tel que N+1 = 2^n (pour que la formule puisse se vérifier), le plus petit nombre N correspondant à ces caracteristiques est 127.
127 + 1 = 2 ^7
on a donc
2^6 (2^6+1 - 1) = 64 x 127 = 8128.
Le plus petit nombre parfait supérieur à 496 est 8128.

Posté par
sanantonio312
re : Nombres parfaits 12-12-19 à 18:37

Entre-temps, ta formule a changé. 2n est devenu 2^n
Il eut été bon de le dire...

Posté par
sanantonio312
re : Nombres parfaits 12-12-19 à 18:41

Dans le programme, tu n'arrives à rien?

Posté par
sanantonio312
re : Nombres parfaits 12-12-19 à 18:42

r est le reste de la division de n par d

Posté par
GamBz
re : Nombres parfaits 12-12-19 à 18:51

Oui, on m'a dit que c'était mieux de l'ecrire comme ca je ne savais pas. Non vraiment rien

Posté par
sanantonio312
re : Nombres parfaits 12-12-19 à 19:08

Ce programme fait la somme des diviseurs.
Essaie de comprendre comment la valeur de r peut avoir une influence.



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