Salut

Passe par la décomposition en facteurs premiers.

Je vois intuituivement comment faire avec la décomposition en facteurs premiers, en disant que:
si ab=y² où PGCD(a,b)=1
alors a et b se décompose en facteurs premiers différents et y² se décompose en carrés de facteurs premiers donc chaque facteur premier de a et b est à une puissance paire don a et b sont des carrés. C'est très confus je sais, mais est-ce que c'est la bonne idée ?

On écrit :

Soient a et b nos deux entiers copremiers.
On peut supposer sans trop de problème que a > b

avec évidemment i < n et les p' distincts des p

Comme a et b sont premier entre eux :
(puisqu'ils n'ont aucun facteur premier en commun, il n'y a pas de simplification)

Si ab est un carré parfait alors les exposants des facteurs premiers sont pairs.
On en déduit que a1,...,an sont pairs et b1,...,bi sont pairs.
Et donc a et b sont des carrés parfait.

Ensuite on écrit que et
alors :

et

Je te laisse conclure quant à la coprimalité de ces nombres.

Je pense qu'on peut faire un raisonnement plus "élégant" en disant :

Supposons que a ou b ne soit pas un carré parfait. Alors il existe un entier p premier tel que la valuation p-adique de a ou b soit impaire.

Or et a et b sont premiers entre eux, donc l'une des deux valuations est nulle.
Ainsi ou

Dans les deux cas, la valuation p-adique de ab est impaire. Contradiction avec le fait que ab soit un carré parfait. (Ce raisonnement est strictement équivalent au précédent, mais il est plus propre)

Merci pour cette réponse tellement bien présentée ! J'avais la première démonstration c'est ce que je tentais maladroitement d'expliquer, mais je n'aurai pas pu la rédiger clairement avec les exposants et les indices !

Pour la deuxième, je n'ai pas encore fait d'arithmétique en cours, je n'ai pas vu les valuations p-adiques, je la relirai une fois le cours fait !