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Nombres premiers.
Il y a deux exercices sur lesquels je bloque complètement, en Terminale S spécialité Maths, sur les nombres premiers.
Voici les énoncés:
a et b désignent deux entiers naturels premiers entre eux.
On note S=a+b P=ab D=a-b
1. Démontrer que a et S sont premiers entre eux et qu'il en est de même pour b et S
J'ai démontré ça par : La somme de deux naturels premiers entre eux n'est pas divisible par ces deux naturels, donc S et a sont premiers entre eux et il en est de même pour S et b.
2. a) Démontrer que tout diviseur commun d à P et S est un diviseur de PGCD(P,Sb) . En déduire que d divise b
Ici, j'étais parti sur Sb= b(a+b)= ab+b²= P+b² , mais je n'arrive à rien après. Je ne peux donc pas faire la suite :
b) Démontrer que d divise a
c) En déduire que S et P sont premiers entre eux.
3. Démontrer que PGCD(S,D) est égal à 1 ou 2
Ici je suppose qu'on doit utiliser la parité? Si a est pair et b est impair, alors... Etc. ?
4. c désigne un entier supérieur ou égal à 2
a) Démontrer que si c divise S, alors a et c sont premiers entre eux, et qu'il en est de même de b et c
b) Démontrer que si c divise a, alors b et c sont premiers entre eux.
Voila pour ce premier exercice.
Le second maintenant:
1. Vérifier que 111 est divisible par 3
ça, ça va, quand même!
2. n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 3.
Un est le nombre dont l'écriture décimale est constituée uniquement de 1 : Un= 11...11 avec n chiffres 1
a) Démontrer que Un=((10^n)-1)/9
b) Vérifier que pour tous réels a et b:
a^3 - b^3 = (a-b)(a²+ab+b²)
ça je devrais finir par réussir tout seul
c) Démontrer que 10^3n - 1 est divisible par 10^n - 1
d) En déduire que l'entier naturel U3n est divisible par l'entier naturel Un
e) Démontrer que 10^n = 1(mod.3) (C'est pas = mais un = avec 3 barres horizontales. )
En déduire que 10^2n + 10^n + 1 est divisible par 3
f) Démontrer que U3n est divisible par 3Un
3. Démontrer qu'il existe une infinité d'entiers naturels dont l'écriture décimale est constituée exactement de n chiffres 1 et qui sont divisibles par n.
Celui qui réussit ces exercices est mon Dieu! 
je t'en fais un bout masi peux pas tout faire!:
I) 1) soit u un diviseur commun positif à S et a alors S=u*k et a=u*k' , k et k' entiers donc S-a=u*(k-k') or S-a=b donc b est divisible par u lui aussi
et comme a et b sont premiers entre eux , u est forecement egal à 1
donc S et a premiers entre eux
tu reprends ce debut en inversant les roles des lettres a et b donc S et b premiers entre eux
2) P=d*k et S=d*k' k et k' entiers donc Sb=d*(k'*b)donc d divise P et Sb
d divise ab et Sb donc d divise pgcd (ab,Sb),d divise b*pgcd (a,S) , d divise b*1
reprends ces deux libgnes en inverdsant les roles de a et b :
d divise a*1
d serait diviseur commun de a et b donc d=1 ou -1
donc S et P sont 1ers entre eux
3) tout diviseur commun positif d' de S et D divise S+D=2a et S-d=2b donc d' divise le pgcd de (2a,2b)=2*pgcd (a,b) donc d' divise 2*1; d'=1 ou 2
je quitte pour un moment si qq veut continuer je lui laisse la place sinon je reviendrai
4) si c divise S ,
1er cas c et a ont un diviseur commun c',c'>1, alors c' divise a et S alors c divise (S-a)= b , c' serait un diviseur commun à a et b donc c'=1 contradiction
donc reste le 2eme cas : c et a n' ont aucun diviseurpositif commun autre que 1, donc c premier avec a
eprends ces lignes en inversant les roles de a et b :
b) evident car a et b premiers entre eux
II 2)a)
completement larguee!!
2)c) applique le 2)a avec a=10^n et b=1
d) est divisible par
donc
donc
, j entier
e) 10=(3*3)+1 donc donc
e bis) voir 2b) avec
et b=1
f)
donc or
donc
donc
donc
est divisible par 3
j'ai mis tantot des u ou U c'est la meme chose ici
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