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Niveau seconde
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Nombres premiers

Posté par
Greg39
27-09-23 à 15:55

Bonjour je bloque sur un exercice.
Soit p un nombre premier différent de 2 et de 3. On considère la Division euclidienne de p par 6
p=6q+r
À) à quel ensemble de nombree appartient q?
B) montrer que l'entier r ne peut valoir que 1 ou 5.
Si quelqu'un peut m'éclairer ce serait top parce que là je patauge😣.
Merci!

Posté par
Leile
re : Nombres premiers 27-09-23 à 16:04

bonjour,

quels ensemble de nombres connais tu ?

Posté par
Greg39
re : Nombres premiers 27-09-23 à 20:38

Bonjour, dans ce cas précis je pense aux nombres entiers naturels. Sinon il y a les entiers relatifs, les décimaux, les rationnels et les réels. 🤔

Posté par
Leile
re : Nombres premiers 27-09-23 à 20:42

en effet  (dans la définition de la division euclidienne : en général, on admet qu'on travaille avec des entiers naturels (pas relatifs)).
q est un entier naturel.

Pour la question suivante, quelles valeurs peut prendre r ?

Posté par
Greg39
re : Nombres premiers 27-09-23 à 21:47

C'est là toute la question. Je ai pas le cheminement à faire pour avoir la réponse😕

Posté par
Leile
re : Nombres premiers 27-09-23 à 21:54

tu divises par 6,
le reste peut il etre supérieur ou égal à 6  ?

Tu devrais vraiment revoir la définition de la division euclidienne, la réponse y est :
À deux entiers a ≥ 0 et b > 0, on associe de façon unique deux entiers naturels, le quotient q et le reste r, qui vérifient :
a = b × q + r
r < b

Alors, quelles sont toutes les valeurs possibles pour r quand le diviseur b vaut 6 ?

Posté par
Greg39
re : Nombres premiers 28-09-23 à 16:46

Bonjour Leile, dans ce cas je dirais que r doit etre compris entre 1 et 5.

Posté par
Leile
re : Nombres premiers 28-09-23 à 16:56

bonjour,
où étais tu passé hier soir ? Quand tu décides de ne plus répondre, dis le, ça évite de t'attendre.

oui, les valeurs possibles pour r  sont  0, 1, 2, 3, 4 et 5

si r=0   alors     p=6q     ===>   p n'est pas premier.

si r= 2  alors  p  = 6q + 2  =  2( 3q+1)   ==> p peut-il être premier ?
si r=3  alors .......

vas y continue !

Posté par
Greg39
re : Nombres premiers 28-09-23 à 17:06

Je suis desolé pour hier soir je n'avais pas vu ta réponse. Merci de bien vouloir reprendre aujourd'hui.
Si r=2 p= 2x(3q+1) donc multiple de 2 --> pas premier
Sont=3 p=3x(2q+1) donc multiple de 3 ---> pas premier
Si r=4 p= 2x(3q+2) donc multiple de 2--,--> pas premier
Si r= 5  p= 6q+5 ... Pas de multiple donc p est premier
Et si r =1 p= 6q+1 .. Pas de multiple donc p est premier
J'ai compris! Un grand merci pour ton aide Leile🙏🙏

Posté par
Leile
re : Nombres premiers 28-09-23 à 17:07

je t'en prie, bonne fin de journée.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Nombres premiers 29-09-23 à 10:19

Bonjour,
Je me permets de commenter le dernier message de Greg39.
Il ne s'agit pas de conclure que p est premier ; mais de démontrer que l'entier r ne peut valoir que 1 ou 5.

Cette phrase :

Citation :
Si r= 5 p= 6q+5 ... Pas de multiple donc p est premier
donne l'impression que tous les entiers de la forme 6q+5 sont premiers ; ce qui est faux.
Par exemple 610 + 5 n'est pas premier.

Je reformule un peu la question B) :
Sachant que p est premier, démontrer que le reste r ne peut valoir que 1 ou 5.



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