Bonjour,

   Une petite suggestion pour la question1, le PGCD des deux nombres divise aussi la somme, ou la différence.

Minusc

Bonsoir, j'ai pensé à cela mais ça ne mène à rien... Merci quand même

Ici, le PGCD divise la différence, donc le PGCD divise 2n.
Or n²+n+1 est impair (considérer le cas n pair et n impair pour le montrer)

Donc le PCDG divise n par Gauss puisque 2 et n²+²+1 sont premiers entre eux.
Donc le PGCD divise n²+n, et le PGCD divise n²+n+1.

Toujours parce que le PGCD divise la différence, PGCD(n²-n+1,n²+n+1)=1

Minusc

J'ai trouvé une autre solution: Soit g= PGCD( n²+n+1),(n²-n+1). Alors g divise 2 n et g divise 2(n²+1) donc g divise 2(n²+1)-n.2n    donc g divise 2 . Or n²+n+1 et n²-n+1 sont pairs donc g=1

Je bloque completement sur le 2 par contre. Merci

Je voulais dire "Or n²+n+1 et n²-n+1 sont IMpairs"

Bonsoir

Peut-etre y a t-il un lien avec la question 1 via (n²+n+1)*(n²-n+1) = n⁴ + n² + 1

Non ce sont deux exercices indépendants mais je me suis permis de les poser en même temps vu leur taille.

Mais on a aussi

n^4 + 4 = (n^2 + 2)^2 - 4n^2 = (n^2 + 2 -2n)(n^2 + 2 + 2n)

Donc a priori on peut dire que pour que n^4 + 4 soit premier il faut que l'un des 2 facteurs soit egal a 1.

Or n^2 + 2 - 2n = 1 equivaut a (n-1)^2 +1 = 1 soit n = 1.

L'autre facteur ne peut pas etre egal a 1.

Donc je ne vois qu'une seule solution ! p = 5

Effectivement j'avais essayé de décomposé n^4+4 en produit de facteurs afin de me ramener à cela mais j'ai du faire une erreur dans mon système... Mais prend n=4 alors p=257 et p est premier... je pense qu'on doit avoir un des facteur égal à 1 et l'autre égal à 2  ... Je vais me charger de finir le travail, merci pour ton aide précieuse. Bonne nuit, à bientot

Tu te trompes avec n=4 ce n'est meme pas la peine de tester.

4^4 + 4 est divisible par 4

et pour n = 5 ca fait 629 qui vaut 17*37...

pour n pair ce n'est pas premier a cause du 4