salut

soit Y est lui-même et de la forme demandée et c'est fini

soit Y n'est pas premier et puisqu'il est impair il est produit de facteurs premiers impairs

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or supposer que tous ses diviseurs sont de la forme 4n + 1 conduit à une absurdité puisque :

si    alors  

or 2 n'est pas multiple de 4

et puisqu'aucun premier de E ne divise y c'est qu'il existe un autre premier de la forme 4n - 1

Bonjour,

Une tentative :

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1)
* Soit Y est premier et la question est résolue
* Si Y non premier :
Donc Y admet des diviseurs premiers qui s'écrivent sous la forme 4n+r avec r={0,1,2,-1}
Les cas r=0 et r=2 sont impossibles car Y est impair. Restent les cas r=1, r=-1.
Si Y n'avait que des diviseurs premiers de la forme 4n+1 alors on aurait Y = "un produit de termes de la forme "4n+1"" , ce qui en développant donne un terme de la forme "4m+1", égal à 4X-1 ce qui est impossible (car on aurait 2(m-X)=1).

Donc il existe un diviseur d premier de la forme "4n-1".

2)
Si ce diviseur premier d figure dans E, alors d divise à la fois X et Y donc d divise 4*X-Y=1 donc d=1 ce qui est impossible. Donc d n'appartient pas à E.

Bonjour,

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Sans avoir une approche plus mathématique on constate que pour 1<n<1000 il ya 28 %  de 4n-1 premiers.
Ceux qui ne le sont pas sont d'abord multiples de 3
puis de 3 ou de 5
puis de 3 ou de 5 ou de 7
puis apparait 11 seul  (n=36-->143)
*puis 13 seul (n=62-->4x62-1 =247).
Ce cas semble démontrer qu'il existe au moins un 4 n-1
qui ne possède pas un diviseur 4n-1

Bonjour à tous les trois,
Quelques remarques sur vos réponses :

@carpediem et thetapinch27,
Pourquoi traiter à part le cas Y premier ?
Pour 1), j'avais utilisé des congruences modulo 4.
Pour 2), je n'ai pas bien compris ce que tu proposes carpediem.
J'avais fait à peu près comme thetapinch27.

@dpi,
Que veux-tu dire par "11 seul" ou "13 seul" ?

>Syvieg ,
Pardon , j'ai  testé 62x4-1= 247 qui n'est pas premier et qui  a pour diviseur 13 qui arrive seul pour la première fois .
Comme 13 n'est pas de la forme 4n-1 ....

y est de la forme 4n - 1 donc il y a deux cas :

il est premier et n'appartient évidemment pas à E et c'est fini

soit il n'est pas premier

sinon ben je propose la même chose que thetapinch27 en ne considérant pas les diviseurs 4n + 0 et 4n + 2 qui sont pairs alors que y est impair et en supposant que tous se diviseurs sont de la forme 4k + 1 pour arriver à la même contradiction ...

Le vieux sujet : arithmétique

Je me pose la question de traiter de manière analogue d'autres formes comme 4n+1, 9n-1 ...

on trouve classiquement les premiers de la forme 6k + 1 (ou 6k - 1) qu'on traite généralement en math experte (et qu'on (re)trouve régulièrement (ou moins maintenant ?) sur

en fait il me semble qu'il y a un "truc" pour les formats des premiers : ainsi ici pour les 4k - 1 tu as choisi y = 4x + 1

mais pour les 4k + 1 il faut choisir y autrement (peut-être bien y = 4x + 3)

entre autres :   infinite de nb premier de la forme 6k-1
et
exercice de spé maths sur les nombres premiers
et
Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 3[4]

un pb plus général même :

pour tous entiers p et q tels que   existe-t-il une infinité de nombres premiers de la forme pk + q ?

Le fameux théorème de Dirichlet

Imod

Merci pour toutes ces références

J'avais complétement oubliée la démonstration que j'avais proposée en 2022 pour 6k-1 !
Je l'adapte à 4k-1 :

On suppose qu'il y a un nombre fini n de nombres premiers de la forme 4k-1 avec k dans *.
On les note p_i avec i entier de 1 à n.
On pose . Et .
Ni 2 , ni les p_i ne divisent Y .
Les diviseurs premiers de Y sont donc tous de la forme 4k+1 .
Y est donc un produit de facteurs tous congrus à 1 modulo 4.
Ce qui est impossible car Y est congru à -1 modulo 4.

Et pour 9n-1 , utiliser Y = 2357 X -1 semble convenir.

Je suis resté sur le problème d'origine...
Soit X=4n-1 ce qui correspond  à X congru à 3 mod4
Dans cet ensemble on trouvera environ 18 % de premiers.
Y=4X-1  sera aussi congru à 3 mod 4
On trouvera  aussi environ 18 % de premiers dans cet ensemble et donc environ  82 % de non-premiers .
Ceux qui sont multiples de 5 seront aussi multiples de 3
qui  appartient bien à X les autres  seront multiples de  (et ou de7 (et ou) de 11,19,23,31 .... tous de la forme X=4n-1