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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 3[4]

Posté par
princesyb
09-01-22 à 18:00

Bonjour ,je sais comment démontrer qu'il existe une infinité de n'ombres premiers mais je n'arrive pas à calquer cette démonstration sur des exercices

Par exemple cette exercice

Supposons que la liste des n'ombres premiers congrus à 3 modulo 4 est fini
Soit L=p1,…,pn cette liste
Construisons un nombre N plus grand congrus à 3 modulo 4 qui soit premier et de la forme ax  (produit des n'ombres premiers)+b

Comment trouver un a et un b pertinent?comment les choisir de sorte à montrer ce que l'on veut démonter

Posté par
lake
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 09-01-22 à 18:21

Bonjour,

Tu peux essayer a=1 et b=(-1)^{n+1}

Posté par
lake
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 09-01-22 à 18:28

Bon, désolé, je crois que je me suis planté

Posté par
princesyb
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 09-01-22 à 18:30

Pas grave .Du coup quels sont les a et b qui marchent ici .Commeny les choisir ?

Posté par
bernardo314
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 09-01-22 à 18:52

Bonsoir,

4L + 3

Posté par
verdurin
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 09-01-22 à 18:55

Bonsoir,
je ne crois pas que l'on puisse trouver a et b répondant à ta demande.
Mais on peut trouver un entier N ayant un diviseur premier congru à 3 modulo 4 plus grand que pn.

Posté par
princesyb
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 09-01-22 à 19:16

Si je prend (4L+3)+1 ça marche ?(on doit construire un plus grand que 3 modulo 4)
Car je me souviens que la démo c'était le produit des n'ombres premier +1

Posté par
princesyb
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 09-01-22 à 19:19

Soit par exemple M un diviseur congrus a 3 modulo 4
M|N(M divise N)

Donc M est congrus à Pi(i allant de 1 jusqu'à n)modulo 4?

Posté par
lake
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 09-01-22 à 19:24

bernardo314 a confondu comme moi vitesse et précipitation.

  Que 4\prod_{k=1}^np_k+3 soit congru à 3 modulo 4, tout le monde en est convaincu.
Mais que cette quantité soit un nombre premier, c'est une autre histoire. Avec n=2, par exemple, on obtient 27 qui n'est pas vraiment réputé premier

Posté par
princesyb
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 09-01-22 à 19:32

Donc ça marche pas tout le temps
Donc c'est dur de trouver le bon qui marche alors
A moins que je propose\prod_{i=1}^{n}{4Pi+5}}

\prod_{i=1}^{n}{4Pi-1}}

Posté par
verdurin
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 09-01-22 à 19:43

Je me répète :
le problème n'est pas de trouver une formule donnant un nombre premier congru à 3 modulo 4, mais de trouver une formule donnant un nombre qui a un diviseur premier strictement supérieur à pn et qui est congru à 3 modulo 4.

Posté par
carpediem
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 09-01-22 à 20:07

salut

on parlerait de nombre premier congrus à 1 mod 4 pas de pb ... encore que ...

mais quand on parle de nombres premiers congrus à 3 mod 4 le pb est que le produit de deux tels nombres est congrus à 1 mod 4

mais puisque 3 = -1 [4]

il suffit de considérer le nombre p = 4 \prod_1^n p_k - 1

et de réfléchir ...

Posté par
princesyb
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 09-01-22 à 20:32

verdurin @ 09-01-2022 à 19:43

Je me répète :
le problème n'est pas de trouver une formule donnant un nombre premier congru à 3 modulo 4, mais de trouver une formule donnant un nombre qui a un diviseur premier strictement supérieur à pn et qui est congru à 3 modulo 4.

Oui je sais c'est pour cela j'ai dis on cherche à construire un nombre plus grand qui soit premier et congrus s 3 mod 4.Bon peut être j'ai pas été précis en disant plus grand que pn

Posté par
princesyb
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 09-01-22 à 20:34

carpediem @ 09-01-2022 à 20:07

salut

on parlerait de nombre premier congrus à 1 mod 4 pas de pb ... encore que ...

mais quand on parle de nombres premiers congrus à 3 mod 4 le pb est que le produit de deux tels nombres est congrus à 1 mod 4

mais puisque 3 = -1 [4]

il suffit de considérer le nombre p = 4 \prod_1^n p_k - 1

et de réfléchir ...

Ça sert à quoi de savoir que 3 est congrus à -1 modulo 4?
Et en quoi ça nous permet de dire que c'est 4(produit des pi) -1 est la bonne formule ?

Posté par
princesyb
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 09-01-22 à 20:49

Bon le temps que vous m'expliquiez cela j'essaye de faire la démonstration

N=4\prod_{i=1}^{n}{Pi-1}}

4\prod_{i=1}^{n}{Pi}}\equiv 0[Pi]

4\prod_{i=1}^{n}{Pi-1}}\equiv -1[Pi]

Donc N n'est pas divisible par Pi c'est à dire Pi ne divise pas N donc N n'admet pas de diviseur premier contradiction car normalent tout nombre  différent de 1 admet au moins un diviseur premier

Donc il existe une infinité de n'ombres premiers congrus à 3 modulo 4

Esce correct?

Posté par
carpediem
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 09-01-22 à 20:51

en fait tu peux garder aussi  p = 4 \prod_1^n p_k + 3  si tu veux ...

l'idée c'est que si a et b sont congrus à 1 mod 4 alors il en est de même de leur produit ... ...

or ici p = 3 [4] ... donc ...

Posté par
carpediem
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 09-01-22 à 20:55

mais en prenant 3 il y a un pb car 3 = 4 * 0 + 3 ... donc il vaut mieux prendre -1 ...

et ta démonstration ne va pas ...

soit p = 4 \prod_1^n p_k - 1

1/ p n'est divisible par aucun des p_i
2/ il y a alors deux cas :
      a/ p est premier ... et donc ...
      b/ p n'est pas premier et alors ...

Posté par
princesyb
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 09-01-22 à 21:01

carpediem @ 09-01-2022 à 20:51

en fait tu peux garder aussi  p = 4 \prod_1^n p_k + 3  si tu veux ...

l'idée c'est que si a et b sont congrus à 1 mod 4 alors il en est de même de leur produit ... ...

or ici p = 3 [4] ... donc ...


\prod_{1}^{n}{P_k}}\equiv 1[4]

Donc4\prod_{1}^{n}{P_k}}\equiv 4[4]
Donc 4\prod_{1}^{n}{P_k}}-1=p\equiv 3[4]

Esce ça ?

Posté par
carpediem
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 09-01-22 à 21:06

inutile de travailler avec des congruences ... seule la notion de divisibilité suffit ...

montre les points 1/ et 2/ de :

carpediem @ 09-01-2022 à 20:55

soit p = 4 \prod_1^n p_k - 1

1/ p n'est divisible par aucun des p_i
2/ il y a alors deux cas :
      a/ p est premier ... et donc ...
      b/ p n'est pas premier et alors ...

Posté par
princesyb
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 09-01-22 à 21:07

carpediem @ 09-01-2022 à 20:55

mais en prenant 3 il y a un pb car 3 = 4 * 0 + 3 ... donc il vaut mieux prendre -1 ...

et ta démonstration ne va pas ...

soit p = 4 \prod_1^n p_k - 1

1/ p n'est divisible par aucun des p_i
2/ il y a alors deux cas :
      a/ p est premier ... et donc ...
      b/ p n'est pas premier et alors ...



3=4x1-1 (c'est à dire 3 est congrus à -1[4])

3=4x0+3(en quoi ça cause problème ?je vous pas

Posté par
princesyb
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 09-01-22 à 21:08

carpediem @ 09-01-2022 à 21:06

inutile de travailler avec des congruences ... seule la notion de divisibilité suffit ...

montre les points 1/ et 2/ de :
carpediem @ 09-01-2022 à 20:55

soit p = 4 \prod_1^n p_k - 1

1/ p n'est divisible par aucun des p_i
2/ il y a alors deux cas :
      a/ p est premier ... et donc ...
      b/ p n'est pas premier et alors ...


Pourquoi il y a2 cas n'est-ce pas c'est un nombre premier congrus à 3 modulo 4 qu'on cherche qui soit plus grand que pn?

Normalement p est forcément premier ?

Posté par
princesyb
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 09-01-22 à 21:20

Le temps de répondre aux messages précédents j'essaye je faire ce que vous avez dit

Montrons que P n'est pas divisible par aucun des Pi.Autrement dit montrons que aucun Pi divise P
P|4\prod_{1}^{n}{P_i}
P|4\prod_{1}^{n}{P_i}-1


Donc P|4\prod_{1}^{n}{P_i}-1+ 4\prod_{1}^{n}{P_i}=-1
P|-1

Absurde car un nombre premier ne peut diviser -1

Correct?

Posté par
carpediem
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 09-01-22 à 22:01

p est évidemment de la forme 4k + 3 ...

princesyb @ 09-01-2022 à 21:08



Normalement p est forcément premier ?
non

il est supérieur aux p_i donc :

soit il est premier et c'est fini
soit il n'est pas premier ...

mais
carpediem @ 09-01-2022 à 20:51

l'idée c'est que si a et b sont congrus à 1 mod 4 alors il en est de même de leur produit ...

Posté par
Zormuche
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 09-01-22 à 23:01

Bonjour

En regardant le sujet plus tôt je pensais à une autre solution :

On sait que les nombres premiers sont congrus à 1 ou 3 modulo 4.

Dire qu'il y en a un nombre fini d'entre eux qui sont congrus à 3 mod 4, c'est équivalent à dire qu'à partir d'un certain rang, tous les nombres premiers sont congrus à 1 modulo 4.
Donc à partir d'un certain rang, tous les nombres premiers sont espacés d'un multiple de 4 (1).

Or, on sait aussi qu'il existe une infinité de nombres premiers "adjacents" (dont la différence vaut 2), c'est notamment un morceau de la preuve de l'infinité des nombres premiers, ce qui contredit l'hypothèse (1)

Posté par
Zormuche
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 09-01-22 à 23:02

Oups, il m'avait semblé que le sujet avait déjà été résolu par la méthode initiale
Désolé pour l'interruption

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 10-01-22 à 09:38

Bonjour,

Citation :
On sait que les nombres premiers sont congrus à 1 ou 3 modulo 4.
Il y a une exception

Pour tenter de faire avancer le schmilblick :
Si au lieu de ne prendre que les nombres premiers congrus à 3 modulo 4, on les prend tous, en les notant a1, a2, ..., an, .... .
J'enfonce le clou :
a1 = 2, a1 = 3, a2 = 5, a3 = 7, a4 = 11, ....
Le produit 235...an est congru à 2 modulo 4.
Donc 235...an +1 est congru à ?

Au lieu de s'arrêter à an, on peut s'arrêter à pn, mais en prenant bien tous les premiers qui le précèdent.

Je ne vais être disponible.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 10-01-22 à 09:39

Je ne vais plus être disponible.

Posté par
GBZM
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 10-01-22 à 09:54

Zormuche @ 09-01-2022 à 23:01

Or, on sait aussi qu'il existe une infinité de nombres premiers "adjacents" (dont la différence vaut 2)

Ah bon, aurais-tu résolu la conjecture des nombres premiers jumeaux ?

Posté par
Zormuche
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 10-01-22 à 11:17

Je déraille... J'ai réfléchi à l'envers
Ce sont les trous sans nombres premiers qu'on sait trouver arbitrairement grands, pas les nombres premiers consécutifs

Posté par
lake
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 10-01-22 à 12:00

Bonjour,

  

Citation :
Je me répète :
le problème n'est pas de trouver une formule donnant un nombre premier congru à 3 modulo 4, mais de trouver une formule donnant un nombre qui a un diviseur premier strictement supérieur à pn et qui est congru à 3 modulo 4.


Je viens de comprendre! Merci verdurin

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 10-01-22 à 15:39

Je suis de retour.
En espérant ne pas déranger, j'essaye de clarifier mon message de 9h38 en partant de cette phrase rectifiée de Zormuche :

Citation :
On sait que les nombres premiers, sauf 2, sont congrus à 1 ou 3 modulo 4.
D'où :
Les nombres premiers, sauf 2, sont congrus à 1 ou -1 modulo 4.
On en déduit :
Un produit de nombres premiers qui commence par 2 est donc congru à 2, donc à 2 modulo 4.

Soit pn le plus grand nombre premier congru à 3 modulo 4.
Soit An = 235...pn le produit de tous les premiers inférieurs ou égaux à pn.

L'entier An+1 est un nombre supérieur à pn et congru à 3 modulo 4.
Il n'est donc pas premier.
Comment peuvent être ses diviseurs premiers ?

Posté par
carpediem
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 10-01-22 à 16:45

bon pour en finir tout de même avec l'idée initiale :

carpediem @ 09-01-2022 à 20:55

soit p = 4 \prod_1^n p_k - 1

0/ p est de la forme 4k + 3 et est supérieur (strictement) aux p_i
1/ p n'est divisible par aucun des p_i
2/ il y a alors deux cas :
      a/ p est premier ... et donc ... c'est fini
      b/ p n'est pas premier et alors ... il ne peut pas être divisible uniquement par des nombres premiers de la forme 4k + 1 donc ...
justifier l'ensemble des affirmations ...

Posté par
princesyb
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 10-01-22 à 17:43

princesyb @ 09-01-2022 à 21:20

Le temps de répondre aux messages précédents j'essaye je faire ce que vous avez dit

Montrons que P n'est pas divisible par aucun des Pi.Autrement dit montrons que aucun Pi divise P
P|4\prod_{1}^{n}{P_i}
P|4\prod_{1}^{n}{P_i}-1


Donc P|4\prod_{1}^{n}{P_i}-1+ 4\prod_{1}^{n}{P_i}=-1
P|-1

Absurde car un nombre premier ne peut diviser -1

Correct?
carpediem @ 10-01-2022 à 16:45

bon pour en finir tout de même avec l'idée initiale :

carpediem @ 09-01-2022 à 20:55

soit p = 4 \prod_1^n p_k - 1

0/ p est de la forme 4k + 3 et est supérieur (strictement) aux p_i
1/ p n'est divisible par aucun des p_i
2/ il y a alors deux cas :
      a/ p est premier ... et donc ... c'est fini
      b/ p n'est pas premier et alors ... il ne peut pas être divisible uniquement par des nombres premiers de la forme 4k + 1 donc ...
justifier l'ensemble des affirmations ...


1)ok ou pas?
J'ai supposer que p premier

Maintenant le cas où il n'est pas premier
Sylvieg @ 10-01-2022 à 15:39

Je suis de retour.
En espérant ne pas déranger, j'essaye de clarifier mon message de 9h38 en partant de cette phrase rectifiée de Zormuche :
Citation :
On sait que les nombres premiers, sauf 2, sont congrus à 1 ou 3 modulo 4.
D'où :
Les nombres premiers, sauf 2, sont congrus à 1 ou -1 modulo 4.
On en déduit :
Un produit de nombres premiers qui commence par 2 est donc congru à 2, donc à 2 modulo 4.

Soit pn le plus grand nombre premier congru à 3 modulo 4.
Soit An = 235...pn le produit de tous les premiers inférieurs ou égaux à pn.

L'entier An+1 est un nombre supérieur à pn et congru à 3 modulo 4.
Il n'est donc pas premier.
Comment peuvent être ses diviseurs premiers ?


2)b)p n'est pas premier donc p=\prod_{1}^{n}{4Pi+1}}

Ou comme l'a fait remarqué Sylvieg\prod_{1}^{n}{Pi+1}}
P_i|\prod_{1}^{n}{Pi}}

Si Pi|P alors P_i|\prod_{1}^{n}{Pi+1}}
Et donc Pi|1
Aucun nombre peut diviser 1 contradiction

Si je fait comme carpediemmd l'a indiqué

P_i|\prod_{1}^{n}{4Pi}}

Et si Pi|P alors P_i|\prod_{1}^{n}{4Pi+1}}
Donc Pi|1
Contradiction car aucun nombre qu'il soit premier ou pas peut diviser 1


Conclusion:
Que P soit premier ou non ,on aboutit toujours à une contradiction donc Pi ne divise P donc N n'admet aucun diviseur premier
Donc il existe une infinité de n'ombres congrus à 3 modulo 4

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 10-01-22 à 17:54

Bonsoir,
Oui, autant persévérer avec la première idée, qui permet d'aboutir, donnée dans le fil.
@princesyb, en relisant tes réponses aux messages de carpediem, j'ai l'impression que tu n'arrives pas à admettre que p peut ne pas être premier.
Un exemple vaut mieux qu'un long discours :
Avec p1 = 3, p2 = 7 et p3 = 11,
On a p = 43711 -1 = 923 = 1371.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 10-01-22 à 18:04

Messages croisés
Ne mélange pas les deux démarches princesyb.
Celle de carpediem est plus proche de ce que tu demandais :
Utiliser une formule aBn + b
où Bn est le produit des premiers congrus à 3 modulo 4, supposés en nombre fini.
Alors que ma démarche utilise un produit avec d'autres premiers.

Je laisse carpediem te répondre.
J'ai déjà mis assez de bazar comme ça

Posté par
princesyb
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 10-01-22 à 18:18

Sylvieg @ 10-01-2022 à 17:54

Bonsoir,
Oui, autant persévérer avec la première idée, qui permet d'aboutir, donnée dans le fil.
@princesyb, en relisant tes réponses aux messages de carpediem, j'ai l'impression que tu n'arrives pas à admettre que p peut ne pas être premier.
Un exemple vaut mieux qu'un long discours :
Avec p1 = 3, p2 = 7 et p3 = 11,
On a p = 43711 -1 = 923 = 1371.



Merci j'ai compris oui au début j'avais du mal à comprendre pourquoi mais maintenant c'est bon

Posté par
princesyb
re : Montrer qu?il existe une infinité de nombre premier congrus 10-01-22 à 18:20

Sylvieg @ 10-01-2022 à 18:04

Messages croisés
Ne mélange pas les deux démarches princesyb.
Celle de carpediem est plus proche de ce que tu demandais :
Utiliser une formule aBn + b
où Bn est le produit des premiers congrus à 3 modulo 4, supposés en nombre fini.
Alors que ma démarche utilise un produit avec d'autres premiers.

Je laisse carpediem te répondre.
J'ai déjà mis assez de bazar comme ça


Ah ok je vois la différence .Quand même merci pour cette piste que n?explorerais une fois que j?aurais réussi à faire comme la méthode de carpediem qui ressemble oui plus à ce que je voulais faire

* Modération > Citation répétée effacée. *

Posté par
carpediem
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 10-01-22 à 18:43

c'est mieux mais il faut être plus rigoureux dans ta démonstration et plus ordonnée

PS : écrire le verbe "divise" ne coûte pas grand chose :

a/ p_i divise 4 \prod_1^n p_k
b/ si on suppose que que p_i divise p alors p_i divise toute combinaison linéaire de 4 \prod_1^n p_k $ et $ p et en particulier leur différence 4\prod_1^n p_k - p = 1

absurde donc ...

Posté par
princesyb
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 10-01-22 à 18:52

Merci donc c'est bon
Mais vous m'avez toujours pas dit si la manière dont j'ai rédiger l'a cas ou p est premier est bon
Car j'ai aboutit que pi|-1 contradiction car p est premier

Posté par
carpediem
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 10-01-22 à 19:16

on ne sait pas is p est premier et on s'en moque !!!

il faut faire les choses dans l'ordre !!

voir à 16h45 ...

Posté par
princesyb
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 10-01-22 à 19:33

Vous avez écrit si p est premier .. c'est fini

Vous voulez dire quoi par là et pourquoi c'est pas nécessaire de traiter le cas p est premier

Posté par
carpediem
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 10-01-22 à 19:43

ben d'après 0/ et 1/ c'est fini ... (quelle est la question ? (énoncé ?))

Posté par
princesyb
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 10-01-22 à 19:52

Ben je sais pas  votre c'est fini c'est quoi
Qu'est-ce que le 0 et 1) permet de déduire pour dire si p est premier c'est fini

Posté par
carpediem
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 10-01-22 à 20:49

tu peux me rappeler la question ou l'objectif du pb ...

Posté par
princesyb
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 10-01-22 à 21:00

Objectif du problème est de monter qu'il existe une infinité de n'ombres premiers congrus à 3 modulo 4

Posté par
princesyb
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 10-01-22 à 21:00

Ou bien ça pas ça que vous faisiez référence?

Posté par
carpediem
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 10-01-22 à 21:35

oui et comment avons-nous procéder pour démontrer cela ?

Posté par
princesyb
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 10-01-22 à 22:00


Voilà comment nous avons procéder
Supposons que la liste des n'ombres premiers congrus à 3 modulo 4 est fini
Soit L=p1,…,pn cette liste
Ensuite on a construit un nombre P plus grand que pn(le plus grand nombre premier) qui soit congrus à 3 modulo 4

Ensuite on a démontrer que aucun nombre premier ne le divise (P)
Et on a aboutit à une contradiction donc il existe une infinité de n'ombres premiers congrus à 3 modulo 4

Posté par
carpediem
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 11-01-22 à 09:04

princesyb @ 10-01-2022 à 22:00


Voilà comment nous avons procéder
Supposons que la liste des n'ombres premiers congrus à 3 modulo 4 est fini
Soit L=p1,…,pn cette liste
Ensuite on a construit un nombre P plus grand que pn  (le plus grand nombre premier) NON qui soit congrus à 3 modulo 4

Ensuite on a démontrer que aucun nombre premier ne le divise (P)
Et on a aboutit à une contradiction donc il existe une infinité de n'ombres premiers congrus à 3 modulo 4


ensuite soit ce nombre est premier et alors la liste initiale n'était finie

soit ce nombre n'est pas premier et il est divisible par des nombres premiers et ça ne peut pas être par les p_i

or
carpediem @ 09-01-2022 à 20:51

l'idée c'est que si a et b sont congrus à 1 mod 4 alors il en est de même de leur produit ... ...

or ici p = 3 [4] ... donc ...

donc ...

Posté par
princesyb
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 11-01-22 à 15:38

carpediem @ 11-01-2022 à 09:04

princesyb @ 10-01-2022 à 22:00


Voilà comment nous avons procéder
Supposons que la liste des n'ombres premiers congrus à 3 modulo 4 est fini
Soit L=p1,…,pn cette liste
Ensuite on a construit un nombre P plus grand que pn  (le plus grand nombre premier) NON qui soit congrus à 3 modulo 4

Ensuite on a démontrer que aucun nombre premier ne le divise (P)
Et on a aboutit à une contradiction donc il existe une infinité de n'ombres premiers congrus à 3 modulo 4


ensuite soit ce nombre est premier et alors la liste initiale n'était finie

soit ce nombre n'est pas premier et il est divisible par des nombres premiers et ça ne peut pas être par les p_i

or
carpediem @ 09-01-2022 à 20:51

l'idée c'est que si a et b sont congrus à 1 mod 4 alors il en est de même de leur produit ... ...

or ici p = 3 [4] ... donc ...

donc ...


Merci j'ai compris maintenant pourquoi si p est premier votre c'est fini


Si on suppose que P n'est pas premier

Tout entier naturel excepté 1et 0admet au moins un diviseur premier  
Donc P admet au moins un diviseur premier mais ce diviseur ou ces diviseurs ne peuvent être pi

J'ai compris que le produit est congrus à 1 modulo 4 e que p est congrus à 3 modulo 4

Mais la déduction je vois pas

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