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nombres premiers,entiers;carré parfait

Posté par anou (invité) 13-09-05 à 15:13

Bonjour!A peine la rentrée commencée que j'ai déjà besoin d'un peu d'aide.Je bloque sur un exercice ,que voici:

1)
a. Décomposer 216 en produit de facteurs premiers.
b. En déduire que 216 est le cube d'un nombre entier (on dit que c'est un cube parfait).
2)
En utilisant une méthode analogue, rechercher dans la liste L suivante, les carrés parfaits, les cubes
parfaits : L = {3375, 512, 432, 1764, 729}.
3)
Le produit de deux des trois nombres suivants est un cube parfait : 36, 108, 432. De quels nombres s'agit-il ?
4)
Quel est le plus petit entier qui multiplié par 216 est un carré parfait ?

Alors pour le 1 , 216 quand on fais la raciné carré on vois qu'il n'est pas divisible donc comment peut-on trouver ses facteurs premiers?
Et puis pour les autres questions ,je ne comprend pas ce que c'est un carré parfait.

De l'aide svp et merci d'avance.


Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : nombres premiers,entiers;carré parfait 13-09-05 à 15:38

Je t'aide pour le début.

On essaie de diviser par 2 autant de fois qu'on peut, puis on essaie par 3 ... (et si ce n'est pas fini, on continue par 5, puis 7, puis 11 ..., soit par tous les nombres premiers successifs).

Voir sur le dessin, le dessin se fait ainsi:

216 : 2 = 108
108 : 2 = 54
54 : 2 = 27
27 : 2 (va pas -> on essaie par 3)
27 : 3 = 9
9 : 3 = 3
3 : 3 = 1 (on arrète)

On compte les 2 dans colonne de droite, il y en a 2 --> 2³
On compte les 3 dans colonne de droite, il y en a 3 --> 3³

On a donc 216 = 2³.3³

Soit aussi= 216 = (2 X 3)³

216 = 6³
-----





nombres premiers,entiers;carré parfait

Posté par
masterfab2
re : nombres premiers,entiers;carré parfait 13-09-05 à 15:49

un carré parfait est un nombre qui est le produit d'un réel par lui meme

ex : 49 est un carré parfait car 49=7 au carré

de meme 16 est un carré parfai car c'est 4 au carré

Posté par anou (invité)re : nombres premiers,entiers;carré parfait 13-09-05 à 16:13

Merci déjà a ceux qui on repondu.
Donc d'apres vos reponses et aides:

1)a. 216 = 2^3 x 3^3 (le ^veut dire puissance)
b.Mais la on ne peut pa faire comme 49= 7 au carré car 216 sa fais environ 14,69 au carré

2)pareil que pour le 1b par exemple 3375 ça ne peut pas faire un carré parfait car il donne environ 58,09

3) La par contre si on fais 36 + 108 on a 144 qui est un carré de 12

4)je n'est pas compris la question.

Si vous pouviez encore m'aider ,svp

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : nombres premiers,entiers;carré parfait 13-09-05 à 16:34

Pour le 2, on te dit "En utilisant une méthode analogue ..."

Cela impose comme dans le 1 de décomposer les nombres en facteurs premiers et pas d'utiliser une calculette comme  tu le fais.

Je t'ai montré dans le 1 comment on faisait, il faut le faire pour les nombres 3375, 542 ...

Par exemple, avec la méthode que je t'ai montrée,  pour 3375, tu devrais trouver:

3375 = 3³ X 5³

Et donc 3375 = 15³ c'est un cube parfait.
----
Avec 1764, tu devrais trouver:

1764 = 2² X 3² X 7²

Et donc 1764 = (2 X 3 X 7)² = 42²  (c'est un carré parfait)


A toi pour les autres ...
---


Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : nombres premiers,entiers;carré parfait 13-09-05 à 16:44

3)
il FAUT décomposer 36, 108 et 432 en produit de facteurs premiers (comme dans les autres exercices).

36 = 2² X 3²

108 = 2² X 3³

432 = 2^4 X 3³

On a donc:
36 X 108 = 2^4 X 3^5  (ce n'est pas un cube parfait)

36 X 432 = 2^6 X 3^5  (ce n'est pas un cube parfait)

108 X 432 = 2^6 X 3^6 = (2²)³ X (3²)³ = (2² X 3²)³ = 36³  : C'est un cube parfait.
-----



Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : nombres premiers,entiers;carré parfait 13-09-05 à 16:49

4)

Il FAUT diviser 216 en produits de facteurs premiers (FAIS-LE), tu devrais trouver:

216 = 2³ X 3³

Si n = 6 (soit 2 X 3), alors:

216 X n = 2³ X 3³ X 2 X 3

216 X n = 2^4 X 3^4

216 X n = (2²)² X (3²)²

216 X n = 4³ X 9²

316 X n = 36² (et donc 66 X n) est un carré parfait.

--> le nombre cherché est 6.
-----
Médite et essaie de bien comprendre.


Posté par anou (invité)re : nombres premiers,entiers;carré parfait 13-09-05 à 17:33

désolai je n'aver pu repondre o precedent message.
Merci beaucoup ,j'ai bien compris maintenand.



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