alors  m et n sont premier entre eux donc pgcd(m,n) = 1. Or pgcd(m,n) divise m et divise n donc il divise 2m²+n² et donc si 5 divise 2m²+n² il divise leur pgcd et donc 1 ce qui est faux

Salut tout le monde,
En réfléchissant je pense l'avoir trouvé. Pouvez-vous voir si c'est correcte? Et si vous avez une autre méthode, pourriez-vous la partager? Merci infiniment.

Soit m et n deux entiers naturels non nuls premiers entre eux.

Si 5 divise m et n alors 5 est un diviseur commun de m et n absurde car m et n sont premiers entre eux.

Si 5 divise m mais pas n alors 5 divise 2m² mais ne divise pas n² donc 5 ne divise pas 2m²+n².

Si 5 divise n mais pas n alors de même 5 ne divise pas 2m²+n².

Si 5 ne divise ni m ni n: Alors 5 ne divise pas m².

-Si 5 divise m²+n² alors 5 ne divise pas m²+m²+n² donc ne divise pas 2m²+n².

-Si 5 ne divise pas m²+n².

Soit a et b deux entiers naturels tel que et . On considère a et b sont successivement les restes de la division euclidienne de m et n par 5 donc 0a4 et 0b4.

Puisque 5 ne divise ni a ni b alors a et b sont non nuls donc 1a4 et 1b4. Dans ℤ/5ℤ on a pour 1a4, a²=1 ou a²=4 de même pour b. Donc ou . De même pour n.

Si et alrs

Si et alrs

Si et alrs

Si et alrs

Dans tout les cas, 5 ne divise pas 2m²+n².


On conclue donc que , si m et n sont premiers entre eux alors 5 ne divise pas 2m²+n².

babsou-58: Merci beaucoup pour ta réponse! Comme elle est simple!

de rien, pense que dans ce genre de question il n'y a pas grand chose à faire , tu as l'égalité de bézout et l'égalité du pgcd. en terminale ça suffit souvent je pense .

non mais attend c'est faux ce que j'ai dis. SI 5 divise 2m²+n² ça ne veut pas dire qu'il divise pgcd (m,n)

Cauchy77: Je ne suis pas d'accord! Ce n'est pas un contre-exemple mais plutôt un exemple! Sinon alors pk les gens se donnent tant de mal à démontrer des conjonctures dont on connais des milliards de milliards d'exemples!

Babsou-58: après réflexion, je trouve que ta réponse est elle aussi à discuter: on sait bien sur que tout diviseur commun de deux nombre divise leurs pgcd, mais ce n'est pas ce que tu as fait là. Contre exemple: Si la questions s'appliquait pour 4m²+n². leurs pgcd est 1 donc par le même résonement 5 ne divise pas 3m²+n² ce qui est faux: il suffit de prendre n=1 et m=1. On a bien pgcd(m,n)=1 mais 4m²+n²=5.

oui c'est ce que j'ai dis plus haut, et la solution de cauchy n'en ai pas une

Bonjour à tous.

@Manga2 : Pour montrer qu'une conjecture est vraie, il faut effectivement qu'elle le soit pour tous les cas possibles.

Par contre, lorsqu'on veut prouver la non-véracité d'une proposition, on utilise un cas particulier l'infirmant :  cauchy77 à donc correctement raisonné.

Bonjour,

babsou-58: Oui dsl j'ai posté ma remarque à peu près en même temps que toi.

Gabylune: "lorsqu'on veut prouver la non-véracité d'une proposition, on utilise un cas particulier l'infirmant". Effectivement, par exemple pour prouver que est fausse ( est l'ensemble des nombres premiers positifs), on doit prouver alors que et et là on dit pour on a donc et quand même donc donc non(P) est juste donc P est fausse.
cauchy77 a prouver que et alors qu'il doit prouver que qui veut dire ou et la négation de notre proposition est et .

Merci Gabylune.

C'est dur de se faire remettre à sa place par des élèves (d'ailleurs en passant, n'en ai pas une n'est pas correct, on écrit plutôt "n'en est pas une")

Mais comme je peux me remettre en question, je sollicite l'avis des modérateurs ou des correcteurs du site sur mon point de vue.

Merci.

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@cauchy77 : Je vous en prie.
Puis-je vous demander votre niveau d'études, il n'est pas précisé sur votre profil ?

@Manga :  Ne le prends pas mal, mais tu n'as pas, à priori, compris mon message.

Si l'on veut démontrer que notre proposition P est vraie, alors on doit bien prouver que mais ce n'est pas le cas.

On suppose P fausse, et si elle ne remplit pas ces conditions une fois, P n'a aucune valeur mathématique.

Il est donc parfaitement juste, logiquement parlant, de montrer que

dsl pour le "ai" ^^. je ne vois pas bien où tu veux en venir gabylune dans ton dernier topic... Si tu voulais montré que la propriété P est fausse il faudrait montrer pour tout m,n premiers entre eux on a 5 qui divise 2m²+n².
Quand à ce que j'ai dis " et la solution de cauchy n'en EST pas une" je le redis car cauchy donne un cas particulier qui montre que ça ne marche pas, or la question est de montrer que ça ne marche par pour tout couple (m,n), de plus cauchy peu après  dit que ceci est vrai pour 2 nombres premiers m,n à partir d'un exemple sur 2 tels nombres, encore une fois rien n'est prouvé pour l'ensemble des nombres premiers ...

Bonjour à tous,

Les carrés possibles modulo 5 sont 0, 1 et -1. Le seul moyen d'obtenir 0 modulo 5 avec est d'avoir et congrus à zéro donc m et n congrus à zéro ce qui est exclut.

Bien cordialement.

Tu peux montrer que est vraie, donc que est fausse ou, insistons sur ce point, trouver un unique contre-exemple.
C'est pour cette raison que j'approuve cauchy77.

Peut-être est-ce complètement aberrant et suis ouvert à toute rectification.

(P) : m,n * ,pgcd(m,n) = 1 5 ne divise pas 2m²+n² .
non(P) : (m,n) ² , pgcd(m,n) = 1 et 5 divise 2m²+n² .

Donc ce qui a été montré par gabylune c'est qu'il existe un couple (m,n) premiers entre eux et tels que 5 ne divise pas 2m²+n² donc RIEN n'a été montré.
La solution de réti est juste mais peut être pénible si tu ne connais pas Z/5Z

La solution de Cauchy ne va pas. Ma solution n'est pas pénible et il ne faut forcément pas connaitre Z/5Z.

D'où le "peut être" c'est quand même pénible de le voir avec les congruences

Ok, j'ai été borné sur ce coup et sais reconnaitre mes erreurs.

Je connaissais peu cette notion et ai inconsidérément pensé pouvoir aider quelque peu.

Veuillez excuser ces interventions stériles.

Bonjour à tous ,

Un tableau pour illustrer la jolie démonstration de Reti :
5 divise 2 m ² + n ² si et seulement si 5 divise m et 5 divise n .
Sans l'utilisation des congruences les calculs sont plus pénibles .

Si pgcd ( m , n ) = 1 alors on ne peut pas avoir 5 divise m et 5 divise n donc on ne peut pas avoir 5 divise 2 m ² + n ² .

A l'intersection d'une ligne et d'une colonne on a le reste de la division euclidienne de 2 m ² + n ² par 5 .

Cordialement.

Merci à TOUT le monde pour sa participation (Gabylune n'est pas exclu ).

Pour ℤ/nℤ voir la dernière page de ce PDF: .

Sinon voir ce topic: Z/nZ...

Bonsoir,

Le prof nous a donnée une autre démonstration:
On suppose par absurde que et .

Donc . Puisque alors . Puisque on a donc .

Dans ℤ/5ℤ on a , , , et .

est un carré parfait donc ou ou donc ou ou .

Mais dans ℤ/5ℤ on a , , , et .

Donc ou ou .

Alors on a ( ou ou ) et ( ou ou ) donc donc et .

Donc 5 est un diviseur commun de m et n donc donc ce qui est faux donc notre supposition est fausse.

On conclue que .

le prof vous a parlé de Z/5Z ?

Je suis marocain eleve en terminal. Z/nZ on lapprend depuis lannee derniere meme. On le nomme dailleurs classe dequivalance mais sans etudier jusqua maintenant meme les classes et les relations dequivalance. Et puis cette annee de terminal on etudie les structures algebriques. On sait donc que (Z/nZ,+,x) est un anneau unitaire commutatif et est un corps si et seulement si |n| est premiers. Si en France les eleves de terminales ne savent pas cela c quil y a difference entre les deux programmes.