Niveau terminale

nombres premiers et coefficients binomiaux

Posté par
antomock7 13-04-12 à 15:43

Bonjour à tous les membres. Je vous expose un exercice pour dont j'ai été incapable de résoudre la deuxième question, laquelle n'est autre que la réciproque de la première. Ladite première question est résolue dans la plupart des manuels de la terminale S. Voici l'exercice:

Exercice : Cpn désigne ici la combinaison de p dans n (avec p < n)
Crn désigne ici la combinaison de r dans n (avec r < n)
1) démontrer que : si n est premier, quel que soit l'entier p (0< p< n),Cpn est divisible par n.
2) réciproquement, on suppose que : quel que soit p (0< p < n), Cpn est divisible par n. On se propose de démontrer que n est premier. On supposera que n n'est pas premier, donc qu'il existe deux entiers r et s tels que n= rs avec r nombre premier. En calculant Crn, on montrera que l'hypothèse faite est impossible et que, par suite, n est premier.

Posté par re : nombres premiers et coefficients binomiaux 14-04-12 à 11:19

Bonjour,

On suppose donc $n=rs$ averc $r$ premier

$C_n^r=\dfrac{n(n-1)\cdots (n-r+1)}{r!}$

Pour tout $p$ compris strictement entre 0 et $n$ , $n=rs$ divise $C_n^p$ donc en particulier, $n=rs$ divise $C_n^r$

Autrement dit, $\dfrac{(n-1)(n-2)\cdots (n-r+1)}{r!}$ est un entier.

donc $r$ premier divise au moins un des $r-1$ entiers $n-1,n-2\cdots n-r+1$

Mais $r$ divise $n$ et ne divise aucun des entiers $1,2,\cdots ,r-1$ donc $r$ ne divise aucun des entiers $n-1,n-2,\cdots ,n-r+1$

La contradiction est là.

Posté par nombres premiers et coefficients binomiaux 14-04-12 à 16:00

Grand merci Cailloux pour ta brillante démonstration!
la contradiction viendrait par exemple du fait que r divise n-2 et ne divise pas n-2.

Posté par recherche d' un topic 14-04-12 à 16:10

Bonjour à tous les membres du Forum. En réalité, je cherhe le topic du membre qui a posé le problème ci-dessous:

déterminer tous les couples d'entiers positifs (x,y) tels que:

pgcd(x,y)= x-2y et ppcm(x,y)= 408 avec x=(2k+1)(x-2y) et y=k(x-2y).

j'ai une solution à poster à ce membre.
s'il vous plaît , pouvez-vous m'aider à retrouver son topic?

Posté par re : nombres premiers et coefficients binomiaux 14-04-12 à 16:21

Voici le topic en question: Spé Maths

Posté par re : nombres premiers et coefficients binomiaux 14-04-12 à 18:09

Citation :
la contradiction viendrait par exemple du fait que r divise n-2 et ne divise pas n-2.

Pas tout à fait:

Elle vient du fait que $r$ , premier, divise $(n-1)(n-2)\cdots (n-r+1)$ alors que $r$ ne divise aucun des $r-1$ facteurs: $n-1,n-2,\cdots ,n-r+1$

Posté par nombres premiers et coefficients binomiaux 15-04-12 à 14:24

Bonjour, Cher Cailloux. Je sais que ce que tu viens de me dire est on ne peut plus correct. Mais j'ai pris le cas du facteur (n-2) tout simplement parce que nous savons tous que:

r premier et divisant abc, implique r divise a,b ou c.

Merci une fois de plus pour l'indication que tu m'as donnée pour le topic que je recherchais. Mais un des membres du Forum,à savoir Skep, m'a donné l'URL de ce topic un peu plus tôt. Et j'ai même déjà posté la réponse que j'avais à ce sujet.
Merci pour tout.

Posté par re : nombres premiers et coefficients binomiaux 15-04-12 à 16:46

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