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Si je me souviens bien, tout nombre parfait est de la forme avec étant un nombre premier.
Le lien doit être là.
Puisque 7 est un nombre premier de la forme 2^(k+1)-1 avec k=2, on a le nombre parfait 2^2*7=28.

Ensuite, le 31 vient de 2^5-1 d'où le nombre parfait 2^4*31=16*31=496.

Pour le "s'inspirer", il faut augmenter k et vérifier que 2^(k+1)-1 est premier :
k=5, 2^6-1 = 63. Ne fonctionne pas.
k=6, 2^7-1 = 127. Il est premier.
D'où le nombre parfait : 127*2^6=127*64=8128, qui est ton résultat.

Pour le reste, les diviseurs de 28 sont 1,2,4,7,14,28. (et 1+2+4+7+14+28=2*28)
donc la somme que l'on cherche est égale à S=1/1+1/2+1/4+...

Le résultat devrait être égal à 2 puisqu'en haut on retrouve normalement la somme des diviseurs lorsque l'on met au même dénominateur et que le dénominateur commun est égal à 28. Donc S=2*28/28=2.
Ce sera sans doute la même somme dans les autres cas.

houla je comprend pa du tout le 1 comment on peut trouver un nombre inferieur a 20 et un superieur a 496, je vois pas la relation faut qu'il y est 2^...?


Sinon pour le 2 je crois avoir compris seulemnt il doit y avoir un erreur car pour tous les nombres je trouves 1.965... ou 1.954...

Bonsoir,

Pour le 2, Darwin a pris en compte, dans la somme des inverses des diviseurs, l'inverse du nombre parfait lui-même alors qu'il est dit dans ton énoncé de ne pas le faire

En fait le résultat à trouver est le suivant :

Soit N un nombre parfait

Alors la somme S(N) des inverses des diviseurs de N sauf lui-même est égale à (2N-1)/N

Prenons N=6 : Ses diviseurs sauf lui-même sont 1, 2 et 3 et leur somme 1+2+3 (ou 3+2+1) est bien égale à 6 , ce qui en fait un nombre parfait.

La somme S(6) des inverses des diviseurs de 6 sauf lui-même est :

S(6)=1+1/2+1/3=6/6+3/6+2/6=(6+3+2)/6=(6+3+2+1-1)/6=(6+1+2+3-1)/6=(2*6-1)/6

Bon courage

je comprend le résultat mais je vois pas ce que ca nous apporte...
Quelq'un pourrait-il m'aider pour la question 1??

Merci d'avance

Re-bonsoir,

Pour trouver que 6 est le premier nombre parfait, il faut appliquer k=1 dans la formule de Darwin.

Note que j'ai vu dans le livre de mon fils, imprimé en 2000, que le plus grand nombre parfait connu était pour l'entier k=216 089, si bien que 2^k+1-1 devait être le plus grand nombre premier connu à cette date.

Mais je n'ai pas trouvé la formule de Darwin pour les nombres parfaits dans le livre, hormis dans un exercice où le plus grand nombre parfait était donc cité, si bien que je doute que tu l'aies apprise.

A+

ouais c'est pour cela que je comprend pas que dois je utilise?

la question d'apres est de trouve un autre nombre parfait? Comment faire?

dans la question 1 jai trouve comment on arrive a 8128 mais comment arrive a 6?????

Re-bonsoir,

On peut reprendre l'explication de Darwyn à l'envers

Je fais l'hypothèse que tu sais que 28 et 496 sont des nombres parfaits

Décomposons 28 et 496 en produits de nombres premiers

28=4*7=2²*7=2²*(2³-1)
496=16*31=2⁴*31=2⁴*(2⁵-1)

On en conclut que ces nombres parfaits semblent être :

- le produit d'un nombre premier et d'une puissance de 2, donc ils sont pairs,
- le nombre premier est égal au double de la puissance de 2 moins 1

Si on calcule le nombre N=2³*(2⁴-1)=8*15, on voit que 15 n'est pas un nombre premier.

Dans ce cas, essayons le nombre 6=2¹*(2²-1) : 6 est bien un nombre parfait puisque 6=1+2+3 et donc notre découverte s'applique encore.

Appliquons cette découverte en prenant le nombre N=2⁵*(2⁶-1)=32*63 ; 63 est divisible par 3 et n'est donc pas premier

Appliquons maintenant en prenant le nombre N=2⁶*(2⁷-1)=64*127 : 127 est premier et donc N=8128 doit être un nombre parfait

Ce qui se vérifie facilement en faisant d'abord la liste de tous ses diviseurs sauf lui-même puis leur addition.

Merci de nous faire connaitre dans ce post le corrigé de ton professeur, si tu en as le temps!

A+

pourrais tu expliquer cette phrase "Alors la somme S(N) des inverses des diviseurs de N sauf lui-même est égale à (2N-1)/N" pourqoi trouve le resultat sous la forme (2N-1)/N est important?

Bonsoir,

Il ne s'agit pas d'une question d'importance mais de démontrer qu'une expression compliquée comme la somme des inverses des diviseurs d'un nombre parfait peut en fait avoir une expression ultra simple.

Tu apprendras par exemple en première que la somme des n premiers entiers S(n)=1+2+3+...+(n-1)+n se simplifie en l'expression (n(n+1))/2.

A bientôt