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Niveau terminale
Notation
Posté par Nallitsac
Bonjour,
Je suis un peu confus par une remarque dans mon cours se rapportant à la bijection :
Si E c D est un sous ensemble de D, si f/E est bijective de E sur
f/E(E) = f(E) on dira que "f est bijective de E sur f(E)".
Que signifient f/E, f/E(E), et f/E(E) = f(E) ?
Pouvez-vous m'éclairer s'il vous plaît ?
bonjour Nallitsac
je crois que ton profil devrait indiquer "terminale " à l'heure actuelle 
désigne la restriction de f à l'ensemble E
D'accord, merci. Mais dans ce cas, dire f/E(E) n'est-il pas une redondance ? Même chose pour f/E(E) = f(E) ?
Bonjour Nallitsac,
non ce n'est pas redondant en réalité. Regardons la définition de ta fonction f :
où F est un ensemble quelconque.
Ici f part de D dans F. L'idée est que, comme E est un sous-ensemble de D et que f est définie sur D, elle est définie sur E et on peut regarder ce qui se passe quand je prends comme ensemble de départ E. On aimerait bien définir alors :
mais ce n'est pas possible, car la notation "f" est déjà attribuée à la fonction de départ. On écrit alors :
la restriction de f à E, qui est un objet différent de f, bien que l'on ait pour tout x de E :
la réciproque n'étant pas vraie : pour tout x de D, est fausse car
n'est pas définie sur D. Dans l'idée, tu vois bien que
et
sont à peu près la même chose si on regarde uniquement les images
pour x dans E, mais ce ne sont pas les mêmes objets formellement parlant car leur définition est différente (tu peux regarder la définition d'application pour comprendre, ici l'important c'est l'ensemble de départ qui diffère). A partir de là, ce n'est donc pas redondant d'écrire f/E(E) = f(E).
Donc juste pour être sur que j'ai bien compris :
f/E(D) = f(E) n'est pas possible
f/E(E) = f(D) n'est pas possible
f/E(D) = f(D) n'est pas possible
Seul f/E(E) = f(E) est possible
Dans la suite je suppose que E est un sous-ensemble strict de D (donc E n'est pas D) :
Nallitsac @ 05-08-2020 à 13:04
Donc juste pour être sur que j'ai bien compris :
f/E(D) = f(E) n'est pas possible /// oui car f/E est définie sur E, sous-domaine strict de D, parler de f/E(D) n'a pas de sens
f/E(E) = f(D) n'est pas possible /// non, ça n'a rien à voir, on peut très bien avoir cette égalité.
Prenons
; alors ![f(\R) = [-1,1]](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?f(\R) = [-1,1])
. Prenons ![E = [0, 2\pi]](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?E = [0, 2\pi])
(ici 
), alors ![\sin_{|E}(E) = \sin(E) = \sin(D) = [-1,1]](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\sin_{|E}(E) = \sin(E) = \sin(D) = [-1,1])
.
f/E(D) = f(D) n'est pas possible /// oui, même justification que premier cas, parler de f/E(D) n'a pas de sens car f/E est définie sur E, sous-domaine strict de D
Seul f/E(E) = f(E) est possible /// c'est par définition de f/E
Donc juste pour être sur que j'ai bien compris :
f/E(D) = f(E) n'est pas possible /// oui car f/E est définie sur E, sous-domaine strict de D, parler de f/E(D) n'a pas de sens
f/E(E) = f(D) n'est pas possible /// non, ça n'a rien à voir, on peut très bien avoir cette égalité.
Prenons
f/E(D) = f(D) n'est pas possible /// oui, même justification que premier cas, parler de f/E(D) n'a pas de sens car f/E est définie sur E, sous-domaine strict de D
Seul f/E(E) = f(E) est possible /// c'est par définition de f/E