Bonjour ,

les propriétés d'un octaèdre régulier est (par définition de "régulier") que toutes ses arêtes sont égales
et comme ses faces sont des triangles, ça suffit.

tu dois donc montrer que IJ = I? va savoir lequel, sans la figure on ne sait pas qui est qui là dedans...

ça peut se faire en appliquant Pythagore judicieusement

ne pas toutes les calculer, certaines seront "calculées de même" par simple symétrie qui garde le cube et l'octaèdre globalement inchangés

_{(d'ailleurs tout peut se faire par ces symétries là sans aucun calcul si on considère la rotation autour d'une grande diagonale de 120°, mais bon ... on attend sans doute que tu calcules avec Pythagore)}

salut

c'est vrai qu'en Terminale ce n'est pas comme en 3ème et que les symétries dans l'espace c'est à la portée de l'élève ...
qui est réputé à ce stade savoir réfléchir et pas seulement calculer.

mais combien seraient capables d'identifier toutes les symétries (y compris de rotation) qui conservent globalement un cube ?
bon ici on peut s'en sortir avec un jeu restreint de ces symétries.

Tout d'abord merci.
Je ne comprends pas comment utiliser le théorème de Pythagore des triangles qui sont isocèles...

Dans des triangles*
Sorry pour le double post

Voici la figure que j'ai pris

"judicieusement " ça veut dire dans des triangles rectangles à faire apparaître dans la figure
évidemment que avec rien que les faces du cube et les faces de l'octaèdre (et leurs arêtes) il n'y a aucun triangle rectangle directement dessiné !!
mais rien que dans un cube il y a des tas de triangles rectangles dès qu'on trace des diagonales ou qu'on relie des milieux d'arêtes etc

une figure plus complète dans laquelle figurent explicitement dessinés



- des plans de symétrie : par exemple le plan (STUV), qui contient les sommets MJKL de l'octaèdre, ou le plan (WXYZ)

- des axes de symétrie par rotation : par exemple (LJ), toute la figure étant invariante par rotation de k fois pi/2 autour de cet axe, ou (IN), pareil
il y a bien d'autres "symétries" du cube qui ne sont pas dessinées explicitement ici,

- des triangles rectangles apparaissent, comme le triangle MTJ qui va permettre de calculer MJ , le triangle NOJ etc

à toi de faire ton marché dans tout ça.
(les triangles rectangles qui vont bien et les symétries pour éviter des redites de calculs, ou même éviter tous les calculs)

mathafou : avec quel logiciel fais-tu ce graphique ?

merci par avance

Geogebra (2D, ordinaire, même un "vieux" 4.4)
j'avais en fait cette construction "en stock" avec de nombreuses constructions toute prête à base de cube dérivées les unes des autres au fil des années.
Je n'ai fait ici que renommer les sommets pour être en accord avec les noms ici.

Merci, je commence à prendre le fil !

mathafou : quel effort !! bravo !!

effectivement vaut mieux la sauvegarder !!!

merci

Je pense ce que mathafou a voulu dire par là, c'est que les faces d'un octaèdre étant des triangles (équilatéraux), elles sont entièrement définies par la longueur des arêtes, ainsi que l'octaèdre tout entier. La longueur des arêtes "suffit".
Par contre, si l'on considère un solide à 6 faces dont toutes les arêtes sont égales,  la longueur de ces  arêtes ne suffit pas à définir un cube, les faces du solide (quadrilatères) pouvant être des losanges.

D'accord merci, je me vois donc obliger de calculer chacune des arrêtes de la première pyramide par exemple et de dire qu'il y a un plan de symétrie entre les deux pyramides.
Ou puis-je seulement prouver que des triangles sont équilatéraux de même longueur, que les deux autres de la pyramide sont leurs symétrie, et que les deux pyramides sont symétriques entre elles. Cela vous semble assez ?

polyèdres réguliers en général :
les faces sont des polygones réguliers égaux
donc arêtes toutes égales
et le nombre d'arêtes est le même à chaque sommet

avec toutes ces contraintes il n'y a que 5 polyèdres réguliers :
le tétraèdre régulier (4 faces triangulaires)
le cube (6 faces carrées)
l'octaèdre régulier (8 faces triangulaires)
le dodécaèdre régulier (12 faces pentagonales)
l'icosaèdre régulier (20 faces triangulaires)

ici les nombres d'arêtes sont "évidents" et ne nécessitent pas de démonstration particulière
et les triangles avec leur 3 côtés égaux sont forcément "réguliers" (angles aussi égaux)
ce ne serait pas le cas pour des faces carrées qui, avec la seuls contrainte d'arêtes égales, pourraient tout aussi bien être des losanges, ni pour des pentagones

Merci mathafou, que penses tu de mes justifications pour ne pas répéter les calculs ?

tu peux :

calculer explicitement MJ avec le triangle MTJ (ou OMJ c'est pareil)
et ensuite les autres arêtes ne nécessitent aucun calcul supplémentaires vu qu'elles sont obtenues par des des triangles rectangles qui ont les mêmes côtés de l'angle droit sans qu'il soit besoin de répéter douze calculs absolument identiques !!
la rédaction étant "de même un autre et etc. "

ou bien tu peux utiliser directement sans aucun calcul les symétries pour prouver de proche en proche que directement elles sont égales deux à deux donc sont au final toutes égales entre elles.
(attention à la rédaction pour bien choisir quelles paires permet de toutes les lier entre elles)

J'ai calculé une arête, je trouve racine de 2 sur 2. C'est bon ? Tu as l'air d'être un connaisseur mathafou !

si on prend comme unité l'arête du cube, oui.
et si on appelle plus généralement cette arête, l'arête de l'octaèdre est

Bonjour,
On peut éviter d'invoquer des symétries en utilisant les plans médiateurs de [AB], de [AD] et de [AE].
Deux d'entre eux apparaissent sur la figure ()
Dans le plan médiateur de [AD], le quadrilatère STUV est un carré de côté a (à justifier un peu ; par une translation ?).
Il est facile de démontrer MJ = JK = KL = LM = (a2)/2 .

Puis "de même" dans les deux autres plans médiateurs.

Une coquille : "Dans le plan médiateur de [AE], le quadrilatère STUV est un carré"

utiliser les plans médiateurs est utiliser les symétries

le plan médiateur de [AE] donne "par symétrie"
NM = IM et séparément (rien ne prouve encore qu'ils sont égaux aux précédents)
NJ =IJ et NK = IK et NL = IL

en utilisant un autre plan de symétrie on a par ailleurs NJ = NL
donc en combinant les deux NJ =IJ = NL = IL

etc

c'est plus rapide en utilisant les rotations :
d' axe (LJ), qui prouve immédiatement que
JI = JM=JN = JK
que LI = LM = LN = LK
et que IM=MN=NK=IK (et que IMNK est un carré)
(indépendamment, rien ne prouvant pour l'instant que ces trois soient égales entre elles)

et d'axe (IN) qui va faire justement le lien entre ces trois quadruplets : NL= NM = NJ = NK et achever la démonstration "sans aucun calcul"

D'accord pour "sans aucun calcul".
Je pense cependant que travailler dans un des plans que j'indique est plus facile pour un élève de terminale.

certes mais travailler dans (je n'avais pas compris ce que tu voulais dire) ce plan "médiateur de [AE]"
c'est alors juste et uniquement chercher des justifications explicites à l'évidence que OMJ est un triangle rectangle en O de côtés OM = OJ = a/2
(donc la mesure de MJ déja calculée)
et ensuite "de même" pour JOK, KOL et LOM
permet de dire que dans ce plan là on a bien MJ = JK = KL = LM
_{(et d'ailleurs que le losange JKLM est alors un carré car ses diagonales JL= KL= a sont égales si on veut le savoir , et pour STUV est il besoin de justifier explicitement que la section d'un cube parallèlement à une face est un carré ?)}
et "de même pour JON etc" permet d'affirmer au final que toutes les arêtes sont égales.
et c'est fini

En fait, dans le plan médiateur de [AE], je n'utilise pas le point O .
Les deux diagonales du carré STUV sont les hypoténuses de 4 triangles rectangles isocèles VTU, VTS, USV, UST.
Dans ces triangles, les segments des milieux [MJ], [JK], [KL], [LM] ont tous pour longueur la moitié de la diagonale du carré STUV.

je disais déja le 04-05-18 à 22:26

calculer explicitement MJ avec le triangle MTJ (ou OMJ c'est pareil)
on peut "calculer" MJ de différentes façons...
(ou pour plaire à carpediem imaginer qu'on calculerait )

carpediem : grâce au T de P
kesako ?
utiliser trop de sigles TVI, T de P, TGV (rien à voir avec la SNCF), etc rend la communication un peu délicate

Théorème de Pythagore !!

mais on ne l'appliques pas on l'invoque ... ce qui est une alternative à tes rotations . ...

ah d'accord.

ce que je disais : ou imaginer qu'on calculerait
(sous entendu par Pythagore, mais sans le calculer effectivement)

c'est pourquoi j'employais le verbe invoquer