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Niveau seconde
Olympiade de math 14
Posté par FanDeMath
Bonjour à tous , après un petit moment , un autre exercice me pose problème , toujours le même principe , merci beaucoup pour votre aide 
L'énoncé :
24 : Quelle est la somme de tous les nombres naturels formés de trois chiffres impairs ?
A 78 125
B 69 375
C 625²
D 19 375
E 125
Déjà on voit direct que la proposition E est fausse .
Ensuite j'ai pensé à faire une suite de raison 2 :
101+103+...+999 = 275 000 mais je me suis rendu compte que les 200 , 400 ,600 ,800 étaient comptés alors j'ai voulu les retirés en faisant :
275 000 - (201+299).25 - .... = 165 000 mais après ça je me suis rendu compte que j'ai aussi compté les : 121 , 123 etc et cela pour toutes les centaines , mais je ne peux pas m'amuser à tous retirer à chaque fois ( je ne sais pas si vous m'avez compris ) , je perds trop de temps , et une faute de calcule peut vite être au rendez-vous , comment faites vous ? Je suppose qu'il y a une astuce ? Merci beaucoup !
Bonne nuit,
Réponse B
il y a 5 chiffres impairs dont la somme vaut 25
On peut former 53=125 nombres de 3 chiffres qui utiliseront 375 chiffres
tous également répartis, soit chacun 25 fois dans chaque rang (unités, dizaines, centaines)
leur somme dans chaque rang pour tous les nombres sera donc 25*25=625
la somme de tous les nombres sera donc 625(1+10+100)=625*111=69375
salut
Citation :
Ensuite j'ai pensé à faire une suite de raison 2 :
101+103+...+999 = 275 000 mais je me suis rendu compte que les 200 , 400 ,600 ,800 étaient comptés alors j'ai voulu les retirés en faisant :
275 000 - (201+299).25 - .... = 165 000 mais après ça je me suis rendu compte que j'ai aussi compté les : 121 , 123 etc et cela pour toutes les centaines , mais je ne peux pas m'amuser à tous retirer à chaque fois ( je ne sais pas si vous m'avez compris ) , je perds trop de temps , et une faute de calcule peut vite être au rendez-vous , comment faites vous ? Je suppose qu'il y a une astuce ? Merci beaucoup !
Ensuite j'ai pensé à faire une suite de raison 2 :
101+103+...+999 = 275 000 mais je me suis rendu compte que les 200 , 400 ,600 ,800 étaient comptés alors j'ai voulu les retirés en faisant :
275 000 - (201+299).25 - .... = 165 000 mais après ça je me suis rendu compte que j'ai aussi compté les : 121 , 123 etc et cela pour toutes les centaines , mais je ne peux pas m'amuser à tous retirer à chaque fois ( je ne sais pas si vous m'avez compris ) , je perds trop de temps , et une faute de calcule peut vite être au rendez-vous , comment faites vous ? Je suppose qu'il y a une astuce ? Merci beaucoup !
du charabia
s = 101 + 103 + ... + 999
déjà 101 et 103 ne conviennent pas puisqu'il y a un zéro qui est pair
posons I = {1, 3, 5, 7, 9} dont la somme des éléments est 25
on veut calculer
bien sur la méthode de vham est plus mathématique car elle utilise plus la réflexion que le calcul ... (mais je fais exactement ce qu'il dit)
on peut aussi traduire ce qu'il dit par 2500 * 25 + 250 * 25 + 25 * 25
il y a indépendance dans les choix de a, b et c : il y a 25 choix (de b et c) pour calculer la somme des 100a soit 2500 + 25 choix (de a et c) pour calculer la somme des 10b + 25 choix (de a et b) pour calculer la somme des c
Bonjour,
Salutation ami carpediem,
Citation :
bien sur la méthode de vham est plus mathématique car elle utilise plus la réflexion que le calcul ...
C'est plutôt bien de réfléchir avant de se lancer dans des calculs, bien sur la méthode de vham est plus mathématique car elle utilise plus la réflexion que le calcul ...
et en plus pour des exercices d'olympiades ou de concours général...salut
si les 3 chiffres sont distincts :
pour faire un detail à FandeMath , parmi {1,3,5,7,9} on a 10 facons de choisir un nombre à 3 chiffres distincts, comme par exemple (1,3,5) (1,3,7) (1,3,9) ....(5,7,9) .
pour le paquet 1,3,5 on doit sortir toutes les dispositions possibles des 3 chiffres composant ce nombre , soit (1,3,5) (1,5,3) (3,1,5)..ect et faire leur somme
le "1" apparait en premiere position autant de fois qu'on peut permuter les deux autres
chiffres , meme raisonnement pour 3 et 5 , alors pour les centaines on a donc
100 + 100 + 300 + 300 + 500 = 2*(100+ 300+ 500) = 2*100*(1+3+5)
le meme raisonnement s'applique pour les dizaines
10 + 10 + 30 + 30+ 50 +50 = 2*10*(1+3+5)
et aussi pour les unités
1 + 1 +3 +3 + 5 + 5 = 2(1+3+5)
la somme total de tout les nombre à 3 chiffres distincts qu'on peut former avec 1,3,5 est donc (1+3+5)*2*(100+10+1) = 1998.
ensuite meme raisonnement pour (1,3,7) ce qui donne (1+3+7)*2*(100+10+1) =
11*222 = 2442
et idem pour les suivants ...( calcul plus long mais que se fait par etape)
au total cela donnerai 222*6*(1+3+5+7+9) = 33300.
si deux chiffres sont identiques :
111*3*(1+3) + 111*3*(1+5) + ...+111*3*(7+9)= 100*111*3= 33300
si les chiffres sont tout identiques
on trouve 2775
un total general donne : 2*33300 + 2775 = 69375
Bonjour à tous , merci beaucoup , votre méthode est tellement détaillé flight que j'ai tout compris mais elle est malheureusement trop longue
Ensuite vham je ne comprends pas cette partie : soit chacun 25 fois dans chaque rang (unités, dizaines, centaines) , je comprends plus ou moins mais pas à 100% , pouvez vous détaillez s'il vous plaît ? Merci beaucoup !
Bonjour,
Je détaille : si on écrit fous les nombres de N chiffres avec les zéros en tête (exemple 001), chacun des chiffres apparaît en même quantité dans le rang des unités, dizaines, centaines...et dans le nombre total des chiffres.
C'est tellement évident !!!