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Niveau seconde
Olympiade de math 15
Posté par FanDeMath
Bonjour à tous , toujours le même principe sauf que cette fois , je trouve la bonne réponse , mais j'aimerais savoir si il y a une façon de savoir que ma réponse est forcément juste , vous allez comprendre , merci beaucoup !
25.Parmi tous les rectangles dont la longueur et la largeur sont des nombres entiers et dont l'aire vaut 1350 , quel est le périmètre de celui qui a le plus petit périmètre ?
En réfléchissant je me dis que je dois décompenser 1350 => 3³.2.5²
Et faire des combinaisons avec ça puis trouver le plus petit périmètre .
Je fais par exemple d'abord :
l = 3³.2
L = 5²
Alors le périmètre = 108+50=158
Je cherche d'autre combinaison pour vérifier et je trouve comme plus petite valeur :
l=2.5.3
L=3².5
Alors le périmètre = 60+90=150 ce qui est la bonne réponse , mais comment savoir que ça l'est ? Je l'ai su car j'ai vérifié ma réponse dans le correctif , mais comment en être certain le jour des olympiades ? ( à part essayez de trouver des valeurs plus petites , car rien ne me dit que je n'oublie pas quelque chose , ou que j'aurais assez de temps ) Merci beaucoup , et si vous avez une autre méthode , je suis preneur aussi 
Salut
Il faut savoir que pour une aire donné, le rectangle qui a le plus périmètre est le carré
Donc il faut chercher le couple (a,b) tel que ab = 1350, et que la différence a-b soit la plus petite possible
En d'autres mots, il faut que a soit très proche de b.
Or la configuration où ab=1350 et a est le plus proche possible de b, c'est a=b=racine de 1350
Mais comme racine de 1350 n'est pas entier, a et b devront être les deux diviseurs les plus proches de racine de 1350, tels que a < racine(1350) < b
On calcule : racine 1350 
36,74
36 est-il diviseur de 1350? 1350/36 = 37,5 NON
35 est-il diviseurs de 1350? 1350/35 = 38,57 NON
...
30 est-il diviseur de 1350 ? 1350/30 = 45 OUI
Bonjour,
indépendamment de la contrainte "nombre entier", le rectangle d'aire 1350 qui a le plus petit périmètre est un carré
(au besoin prouver ce résultat général "archi-connu" qui aide dans énormément de problèmes, voire les résout en deux lignes au lieu d'une page de calcul)
en ajoutant la contrainte "nombres entiers" ce sera celui qui est "le plus proche" d'un carré
donc un diviseur de 1350 le plus proche de 
1350 = 36.74...
donc les obtenir triés ces diviseurs de 1350
30 étant "visiblement" un diviseur de 1350 (divisible par 10 et par 3) < 36.74
on cherche "le suivant"
pour s'assurer qu'il n'y a pas d'autres diviseurs entre 30 et 36.74 (facile !)
donc 30 et 1350 sont les deux diviseurs de 1350 qui sont les plus proches de 1350
salut
j'ai pensé à exprimer P(L) et à utiliser sa dérivé pour situer une valeur approximative
de L en resolvant P'(L)= 0
P = 2(L+l) avec L*l = 1350 alors P(L)= 2*(L + 1350/L)
P'(L)= 2*(1 -1350/L²) on peut ensuite obtenir L de sorte que P soit minimal en
resolvant P'(L)= 0 soit 1350/L² = 1 et L² = 1350 soit L 36,74
mais comme on cherche une valeur entiere pour L il faudra que celle soit la plus
proche possible de 36,74 , en observant la decomposition de 1350 = 2*3*3*3*5*5
on peut constater que 2*3*5 = 30 en est une valeur assez proche , il reste alors
les facteurs 3, 3 et 5 à multiplier entre eux ce qui donne 45
du coup p = 2(45+30)= 150
voila c'est pas forcement elegant mais c'est du bricolage
De toute façons toutes nos réponses sont pas élégantes mais juste du bricolage, c'est à se demander si c'est la seule façon de le faire
à moins que lake et sa fâcheuse manie de trouver des solutions élégantes à tout ne débarque
Ah d'accord merci beaucoup , j'ai bien compris sauf votre façon de faire Zormuche , je ne sais pas si c'est parce que je n'ai pas vu les dérivés mais ce n'est pas grave .
Et une petite question , peut être un peu bête , comment faire vous pour calculer la racine de 1350 , sachant que je n'aurais pas de calculatrice pendant les olympiades ? Je dois élever au carré plusieurs nombre et voir en fonction de ça ? Ou y'a un moyen de le faire ? Merci beaucoup
Tu sais deja que 30^2=900 et 40^2=1600
et supposons qu'il soit un carré parfait, sa racine devrait aussi terminer par 0, or il n'y a pas de nombre strictement compris entre 30 et 40 qui finisse par 0 donc ce n'est paz un carré parfait
Vu que 1350 est plus au moins situé au milieu de 900 et 1600, on essaie avec 35^2
Tu poses la multiplication qui donne 1225, tu continues avec 36 ce qui donne 1296, et puis avec 37 qui donne 1369 hop tu sais que cest compris entre 36 et 37
en passant, petite astuce pour mettre des nombres au carré très rapidement de tête :
37^2 = (37-3)(37+3) + 3^2
On choisit 3 ici parce que 37+3 = 40 ce qui facilite les calculs
34*40 = (3*4)*100 + (4*4)*10 = 1200+160 = 1360
tu rajoutes le 9 ca fait 1369
Autre exemple avec 74 par exemple :
74^2 = 70*78 + 4^2 = dans ta tête tu fais 7*7=49 et 7*8 = 56 donc ca fait 4900+560+16 = 5476
pour les nombres finissant en 5 c'est encore plus simple : tu prends la dizaine, tu prends la dizaine supérieure, tu les multiplies, puis tu ajoutes 25
35^2 = 30*40 + 25 = 1225 voila voila
Mais bon sur papier si tu les poses c'est aussi rapide et vu que tu auras du brouillon j'imagine...